定态薛定谔方程讲义

定态薛定谔方程

一、定态Schr?dinger方程

??22???i??(r,t)?[???V(r)]?(r,t) (1) ?t2m在一般情况下，从初始状态?(r,0)求 ?(r,t)是不容易的。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V不显含时间 t（在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。

?V(r)与t无关时，可以分离变量

令?(r,t)??(r)f(t) 代入(1)式

??i?df(t)1?22?? ??[???V(r)]?(r)?E

f(t)dt?(r)2m其中E是即不依赖于t，也不依赖于r的常量，这样 i?df(t)?Ef(t) (2) dt?22??? [???V(r)]?(r)?E?(r) (3) ——定态薛定谔方程

2?由(2)解得 f(t)?cei?Et?

其中c为任意常数。把常数c放到?E(r)里面去，则

????Et?(r,t)??E(r)e? (4)

这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/?按照德布罗意关系E=hν=?ω，E就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E，所以这种状态称为定态，波函数?(r,t)称为定态波函数。

i????Et 定态有两个含义：1、?(r,t)??E(r)e；2、E具有确定值；（判断是否为定态的依

据）

空间波函数?E(r)可由方程

i??22???[???V(r)]?E(r)?E?E(r) 2m和具体问题?E(r)应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schr?dinger方程，?E(r)也可

??称为定态波函数，或可看作是t=0时刻?E(r,0)的定态波函数。 二、Hamilton算符和能量本征值方程 1、Hamilton算符

i?df(t)?Ef(t) (2) dt?22??? [???V(r)]?E(r)?E?E(r) (3)

2??(2)??E(r),(1)?e?iEt/?

i?????(r,t)?E?(r,t) ?t?22??? [???V(r)]?(r,t)?E?(r,t)

2?再由Schr?dinger方程：

??22???i??(r,t)?[???V(r)]?(r,t) ?t2m也可看出，作用于任一波函数?上的二算符

??22?? i?, ???V(r)?H?t2m作用于体系任意一个波函数效果是相当的。这两个算符都称为能量算符。 与经典力学相同， ?称为Hamilton量，亦称Hamilton算符。 2、能量本征值方程 将

?22??? [???V(r)]?(r,t)?E?(r,t)

2?改写成

????(r H,t)?E?(r,t)

三、求解定态问题的步骤

从数学上讲，对于任何E值，不含时的薛定谔方程（3）都有解，但并非对于一切E值所得出的解?(r)都满足物理上的要求。这要求有的是根据波函数的统计解释而提出的，有的是根据具体的物理情况而提出的，例如束缚态边条件，周期性边条件，散射态边条件等。在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些E值所对应的解才是物理上可以接受的。这些E值称为体系的能量本征值，而相应的解?E(r)称为能量本征函数，不含时薛定谔方程（3）实际上就是在势场V（r）中粒子的能量本征方程。

1、列出定态Schr?dinger方程

?22?????V(r)?]r(?)?Er( [? )2m2、根据波函数三个标准条件（单值、连续、有限）求解能量E的本征值问题，得： 本征值： E1，E2，…，En，… 本征函数： ?1，?2，…，?n，…

3、写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数

i???Ent?n(r,t)??En(r)e?

4、通过归一化确定归一化系数Cn返回

?四、定态的性质

????2Cn?n(r)d??1

1、粒子在空间几率密度以及几率流密度与时间无关； 2、任何不显含t的力学量平均值与t 无关；

3、任何不显含t 的力学量的测值几率分布也不随时间变化。

如果对于同一E值，存在几个线性无关的函数，满足同一定态方程，这种情况称为简并，其中线性无关函数的个数则称为对应能级的简并度。 五、定态解的正交性

属于不同能量的定态解彼此正交。 若En≠Em，则有

*??m?ndr?0

?即Ψm与Ψn正交。

当En=Em时，如果能级不简并，Ψm与Ψn实为同一函数，故积分不为零，适当选取常数可使其归一化。如果能级简并，简并度为f，则我们总可以从这f个线性无关的简并波函数中重新组合出f个函数，使其互相正交并归一化。于是定态解的全体满足以下正交归一化条件

??*?（?m,?n）???m(r)?n(r)dr??mn

六、含时薛定谔方程的一般解

定态是系统的稳定状态。注意，即使系统的哈密顿算符不显含时间，系统并非必须于定态。系统处于什么状态与初始情况有关。所以，一般情况下，我们尚需讨论在任意给定的初始条件下，系统将如何运动。

薛定谔方程为一齐次线性微分方程，其通解可表示为诸特解的线性叠加

?（r,t）??Cn?n(r,t)??Cnexp[?Ent]?n(r)

nn??i??2012年10月22日于河北工业大学北五202