4.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)
41的平方根是_________； 6.(－)2的算术平方根是_________；
4121 7.一个正数的平方根是2a－1与－a+2，则a=_________，这个正数是_________；
5.
8.25的算术平方根是_________； 9.9－2的算术平方根是_________；
10.4的值等于_____，4的平方根为_____； 11.(－4)2的平方根是____，算术平方根是_____. 三.判断题
1.－0.01是0.1的平方根.( ) 2.－52的平方根为－5.（ ） 3.0和负数没有平方根.（ ） 4.因为
1111的平方根是±,所以=±.（ ）
164416 5.正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（ ）
四、解答题
1.已知：在数－3，－1.42,π,3.1416,
4??222
,0,4,(－1)n,－1.424224222…中， 3（1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；
2
2.要切一块面积为36 m的正方形铁板，它的边长应是多少？
3.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a－15,求这个数.
分母有理化
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
6
①单项二次根式：利用a?a?a来确定，如：a与a，a?b与a?b，a?b与a?b等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a?b与a?b，?3?a?b与a?b，ax?by与ax?by分别互为有理化因式。
例题：找出下列各式的有理化因式
(3)7?10(1)12(2)5?2(4)32?63．分母有理化的方法与步骤：
（1）先将分子、分母化成最简二次根式；
（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； （3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 例题：把下列各式分母有理化
2?62?6(5)a?b(6)a?x2?a2(x?a)?1?
3235?532 (2) (4) (3)3?13?553?3552?3例题：把下列各式分母有理化：
a?ba?b1b?a2?b2（1） (2) （3） （4）
22a?ba?ba?2?a?2b?a?b 【练习】
1．找出下列各式的有理化因式
(3)a?ab (4)a2?35 (1)5?2
2．把下列各式分母有理化
(2)23?811?1?
75?725(4) ?2? 57?55?17?2(5)2x?y2x?y3．计算
?1?
1322?33?2?? ?2? ?3?22?55?32?32?37
(3)
12?2?3??2?3?
?12 (4)x?y?2xy11x?y 4．比较大小与 ?7?55?3x?yx?y
5.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面： (1) 26； (2) ?57； (3) 4
21； (4) ?2ab； (5) 3；
3225y49340.160.01?64276.计算： (1) ； (2) 2； (3) ；(4) ； (5) ； (6) ；
49810.02250.36?324100121x6 1.计算 (1) ?515?
☆★专题讲解：
???3???5； (2) 3?(4?35)； (3) (14?65)?(3?5)； (4) 16?41?211； 5?21232?类型一．有关概念的识别
1、实数的有关概念
无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含?的数，如：2?,?等，开方开不尽的数，如2,36等；特定结构的数，例0.010 010 001…等；某些三角函数，如sin60o，cos45 o等。判断一个数是否是无理数，不能只看
128
0形式，要看运算结果，如?,16是有理数，而不是无理数。
例1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…， A、1 B、2 C、3 D、4
例2.（2010年浙江省东阳县）
A．无理数 举一反三：
，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）
3是 7 C．整数
D．负数
B．有理数
2
1.在实数中－ ，0，3，－3.14，4中无理数有（ ）
3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、平方根、算术平方根、立方根的概念
若a≥0，则a的平方根是?a，a的算术平方根a；若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是3a。 【例1】16的平方根是______ 3
【例2】27 的平方根是_________
【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ） A．x2+1 B.x2y5 C.12 D.0.5 【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是 （A）2?0 （B）30?1??3
（C）9?3 （D）2?3?5 【例5】（2010年四川省眉山市）计算(?3)2的结果是 A．3 B．?3 C．?3 D． 9 举一反三：
1.下列说法中正确的是（ ） A、
的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、
=±1 D、
是5的平方根的相反数
2. 1.25的算术平方根是__________；平方根是__________. -27立方根是__________. ___________，
___________，___________.
9
类型二．计算类型题
1.估算、比较大小
正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方． 例1．设 A. C. 解析：
例2.(2010年浙江省金华)在 -3，－3， －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ） A. -3 B.－3 C. －1 D. 0 2.二次根式的运算
二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等．实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来．解决这类问题应明确各种运算的含义(a?1(a?0),a活运用运算法则，细心计算。 例1、计算a3+a21所得结果是______． a0?p，则下列结论正确的是（ ） B. D.
?1(a?0,p是整数)，运算时注意各项的符号，灵ap例2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+1-2a+a2其中a=9时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式= a+1-2a+a2= a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质： ________
例3、计算：（1）（32－23)2－(32+23) （2）(2-3)2001(2+3)2002 例4、二次根式1?a中，字母a的取值范围是（ ）
A．a?1 B．a≤1 C．a≥1 D．a?1
举一反三： 1.求下列各式中的 （1）
（2）
（3）
类型三．数形结合
例1. 点A在数轴上表示的数为 举一反三：
10
，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
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