第一部分 专题四 第二讲 数列求和及综合应用
A组
1．设{an}的首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( D )
A．2 1
C． 2
B．－2 1D．－
2
[解析] 由题意知S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6， 因为S1，S2，S4成等比数列，
所以S2＝S1·S4，即(2a1－1)＝a1(4a1－6)， 1
解得a1＝－.故选D．
2
2．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝1
A．1－n
41
C．1－n
2
[解析] 因为an＝1×2所以an·an＋1＝2所以
1
n－1
nn－1
2
2
1
a1a2a2a3
＋
1
＋…＋
1
anan＋1
等于( B )
21B．(1－n) 3421D．(1－n) 32
＝2
n－1
， ，
·2＝2×4
n－1
11n－11
＝×()，所以{}也是等比数列， anan＋124anan＋1
1－1
1－4
1n4
21
＝(1－n)，故选B． 34
1×
1111
所以Tn＝＋＋…＋＝×
a1a2a2a3anan＋12
3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于( C )
A．30 C．90
B．45 D．186
?a1＋d＝6，?
??a1＋4d＝15
[解析] 设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得?以an＝3n，
所以bn＝a2n＝6n，且b1＝6，公差为6，
，解得?
?a1＝3，???d＝3，
所
1
5×4
所以S5＝5×6＋×6＝90.
2
4．等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )
[解析] ∵Sn＝na1＋
nn－1
2
ddd，∴Sn＝n2＋(a1－)n，又a1>0，公差d<0，所以点(n，
2
2
Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．
[点评] 可取特殊数列验证排除，如an＝3－n.
5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f(x)＝x ②f(x)＝2； ③f(x)＝|x|； ④f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( C ) A．①② C．①③
B．③④ D．②④
2;
x[分析] 保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{an}是等比数列，则{f(an)}仍是等比数列．
[解析] 解法一：设{an}的公比为q.
a2an＋122n＋1
①f(an)＝an，∵2＝()＝q，
anan2
∴{f(an)}是等比数列，排除B、D． ③f(an)＝|an|， ∵
|an＋1|
＝|an|
|
an＋1
|＝|q|， an∴{f(an)}是等比数列，排除A． 解法二：不妨令an＝2.
①因为f(x)＝x，所以f(an)＝an＝4.显然{f(an)}是首项为4，公比为4的等比数列． ②因为f(x)＝2，
所以f(a1)＝f(2)＝2，f(a2)＝f(4)＝2，
2
4
2
2
nnxf(a3)＝f(8)＝28，
2
48
fa22fa32所以＝2＝4≠＝4＝16，
fa12fa22
所以{f(an)}不是等比数列．
③因为f(x)＝|x|，所以f(an)＝2＝(2). 显然{f(an)}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f(x)＝ln|x|，所以f(an)＝ln2＝nln2.
显然{f(an)}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C．
6．(2018·邵阳一模)已知数列{bn}为等比数列，且b1 009＝e(e为自然对数的底数)，数列{an}的首项为1，且an＋1＝an·bn，则lna2 018的值为2_017.
[解析] 因为数列{bn}为等比数列，且b1 009＝e(e为自然对数的底数)，数列{an}的首项为1，且an＋1＝an·bn，
所以a2 018＝b1·b2·b3·b4·…·b2 017＝b1 009＝elna2 018＝lne
2 017
2 017
2 017
nnn，
＝2 017.
7．已知数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝log2an，且数列{bn}的前10项的和为11111 02325，那么＋＋＋…＋的值为. a1a2a3a10128[解析] 数列{an}是等比数列，其公比为2， 设bn＝log2an，且数列{bn}的前10项的和为25， 所以b1＋b2＋…＋b10 ＝log2(a1·a2·…·a10) ＝log2(a12
101＋2＋…＋9
)＝25，
1104525
所以a1×2＝2，可得：a1＝. 41111那么＋＋＋…＋
a1a2a3a10
111
＝4(1＋＋2＋…＋9) 22211－10
21 023
＝4×＝. 11281－2
8．已知等比数列{an}的公比q>1,42是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
[解析] (1)因为42是a1和a4的一个等比中项，
3
*
所以a1·a4＝(42)＝32.
??a2·a3＝32，
由题意可得?
??a2＋a3＝12.
2
因为q>1，所以a3>a2.
??a2＝4，
解得?
?a3＝8.?
所以q＝＝2.
na3
a2
故数列{an}的通项公式an＝2.
(2)由于bn＝log2an(n∈N)，所以anbn＝n·2，
*
nSn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，①
2Sn＝1·2＋2·2＋…＋(n－1)·2＋n·2
2
3
2
3
nn＋1
.②
n＋1
①－②得，－Sn＝1·2＋2＋2＋…＋2－n·2所以Sn＝2－2
n＋1
n2＝
1－21－2
n－n·2
n＋1
.
＋n·2
n＋1
＝2＋(n－1)·2
n＋1
.
*
9．(文)(2018·天津卷，18)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.
(1)求Sn和Tn；
(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．
[解析] (1)设等比数列{bn}的公比为q，由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q－q－2＝0.因为
2
*
q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.
1－2n所以Tn＝＝2－1.
1－2
设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4. 由b5＝a4＋2a6，
可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n，所以Sn＝(2)由(1)，知T1＋T2＋…＋Tn＝(2＋2＋…＋2)－n＝2由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得
2
1
2
nnn＋1
2
.
nn＋1
－n－2.
n＋1
nn＋1
2
＋2
n＋1
－n－2＝n＋2，
整理得n－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.所以n的值为4.
(理)(2018·天津卷，18)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N)，{bn}是等差数列. 已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.
(1)求{an}和{bn}的通项公式．
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N)， ①求Tn；
4
*
*
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