§6.3 等比数列及其前n项和
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示. 2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn1. －
3.等比中项
若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项. 4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qnm，(n，m∈N*).
－
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. ?1??an?
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，?a?，{a2bn}，?b?仍是等比n}，{an·
?n?
?n?
数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；
a1?1－qn?a1－anq当q≠1时，Sn＝＝. 1－q1－q6.等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列. (2)G为a，b的等比中项?G2＝ab.
( × ) ( × ) ( × )
(3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.
1
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列. ( × )
(5)若{an}是等比数列，则S1·S2·?·Sk＝0(k≥2，k∈N)的充要条件是an＋an＋1＝0. ( √ ) (6)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则Y(Y－X)＝X(Z－X)恒成立.
( √ ) ( )
2.(2013·江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，?的第四项等于 A.－24 答案 A
B.0
C.12
D.24
解析 由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6). 解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去). 故数列的第四项为－24.
3.(2012·课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于 A.7
B.5
C.－5
D.－7
( )
答案 D
36
??a4＋a7＝a1q＋a1q＝2，
解析 方法一 由题意得? 4529
?aa＝aq×aq＝aq＝－8，?561113???q3＝－2，?q＝－2，
∴?或??a1＝1??
1
?a1＝－8，
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
????a4＋a7＝2，?a4＝－2，?a4＝4，方法二 由?解得?或?
?a5a6＝a4a7＝－8??a7＝－2.??a7＝4?
3???q3＝－2，?q＝－2，
∴?或??a1＝1??
1
?a1＝－8，
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
4.(2013·北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________ 答案 2 2n1－2
＋
解析 设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40. 得20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2. a1?1－qn?n＋1因此Sn＝＝2－2.
1－q
5.(2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 答案 2n
解析 先判断数列的项是正数，再求出公比和首项.
2
?1?a25＝a10>0，根据已知条件得2q＋q＝5，解得q＝2. ??
89n
所以a21q＝a1q，所以a1＝2，所以an＝2.
题型一 等比数列的基本运算
例1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于
( )
15A. 2
31B. 4
33C. 4
17D. 2
(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________. 思维启迪 利用等比数列的通项公式与前n项和公式列方程(组)计算. 答案 (1)B (2)4或－4
aq·aq＝1??113
解析 (1)显然公比q≠1，由题意得?a1?1－q?，
＝7??1－qa＝4a＝9???1?1
解得?1或?1(舍去)，
q＝q＝－??3?2?1
4?1－5?2a1?1－q?31
∴S5＝＝＝.
141－q
1－2
5
3??a1q－a1q＝6q22
(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则?4，两式相除，得2＝，即2q1＋q5?a1q－a1＝15?
3
1－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
2
???1?a1＝1
所以?或?1
?q＝2??q＝
a＝－162
?
.故a3＝4或a3＝－4.
思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.
(1)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，且|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于
( )
A.9
B.10
C.11
D.12
(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( ) A.3
B.4 C.5 D.6
3
1
(3)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5
an项和为 15A.或5 8
( )
31
B.或5 1631C. 1615D. 8
答案 (1)C (2)B (3)C 解析 (1)∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10， 即am＝a1·q10，∴m＝11.故选C.
??3S3＝a4－2， ①(2)因为?
?3S2＝a3－2 ②?
a4①－②得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，则q＝＝4.
a3(3)若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1， 则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
a1?1－q3?a1?1－q6?
由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.
1－q1－q11－－－
故an＝a1qn1＝2n1，＝()n1.
an2
11
所以数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列，
an21
1×[1－??5]
231
其前5项和为S5＝＝.
1161－2题型二 等比数列的性质及应用
例2 (1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________. S1031
(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.
S532思维启迪 利用等比数列的项的性质和前n项和的性质求解. 1
答案 (1)51 (2)－ 2
2
解析 (1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a4， 2得a24＋a8＝41.因为a4a8＝5，
2所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a8＝41＋2×5＝51.
又an>0，所以a4＋a8＝51. (2)由
S10－S5S10311
＝，a1＝－1知公比q≠1，＝－. S532S532
由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，
4
相关推荐：
loading