A．－6 B．6 C．3 D．－3
解析：选B 由c⊥d得c·d＝0，即(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，即2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2
＝0，所以2k＋(3k－8)×1×1×cos 90°－12＝0，即k＝6.故选B.
10．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝3|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为 60°，则k＝________．
解析：∵|ka＋b|＝3|a－kb|，
∴k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)．
∴k2＋1＋k＝3(1＋k2－k)．即k2－2k＋1＝0，∴k＝1. 答案：1
1111．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝. 42(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值． 1
解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.
212
∵|a|＝1，∴1－|b|2＝，∴|b|＝.
22
11
(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，
4211
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，
42∴|a＋b|＝2，|a－b|＝1. 令a＋b与a－b的夹角为θ，
12（a＋b）·（a－b）2
则cos θ＝＝＝，
|a＋b||a－b|2×14即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是
2
. 4
[能力提升综合练]
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为( ) 32A. B．3 C．4 D．5
2
解析：选A 由已知|a|＝3，|b|＝5，cos θ＝cos 45°＝影为|a|cos θ＝3×
232＝. 22
2
，而向量a在向量b上的投2
2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5
9
解析：选A ∵|a＋b|＝10， ∴(a＋b)2＝10， 即a2＋b2＋2a·b＝10.① ∵|a－b|＝6，∴(a－b)2＝6， 即a2＋b2－2a·b＝6.② 由①②可得a·b＝1，故选A.
A．23 B.32 C.3
3
D.3
解析：画出图形知△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，
＝0＋4×5×??－45??＋5×3×??－3
5??＝－25. 答案：－25
5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1， 所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝10. 答案：10
6．已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 解：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2， ∴a·b＝1
2
|a|2.
10
而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2， ∴|a＋b|＝3|a|.设a与a＋b的夹角为θ. 1
|a|2＋|a|2
2a·（a＋b）3
则cos θ＝＝＝.
2|a||a＋b||a|·3|a|∴θ＝30°.
7．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb. (1)当|u|取最小值时，求实数t的值； (2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|2∵b是非零向量，∴|b|≠0，
a·b
∴当t＝－2时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
|b|
a·b
－2·|b|2?＝a·(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋?b－a·b＝0， ?|b|?∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
b?（a·b）?t＋a·2
. 2＋|a|－?|b|?|b|2
2
2
第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P106～P107的内容，回答下列问题． 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？
提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2)|a|，|b|分别用坐标怎样表示？
2＋y2； 提示：|a|＝（x1i＋y1j）2＝x112
|b|＝（x2i＋y2j）2＝x22＋y2.
(3)能用a，b的坐标表示a·b吗？
11
提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2.
2．归纳总结，核心必记 (1)平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
(2)两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0． (3)三个重要公式
2①向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y1.
②两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB―→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2． ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos
θ＝x1x2＋y1y2222x21＋y1x2＋y2 .
[问题思考]
(1)已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
xy?xy?1??，提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝ ±?|a|，|a|?＝±?x2＋y2?，|a|x2＋y2??其中正号，负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，
?－y，x?∴与a垂直的单位向量b0的坐标为±?22?，其中正，负号表示不同的方
x2＋y2??x＋y
向．
(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2吗？
[课前反思]
(1)平面向量数量积的坐标表示： ；
(2)两个向量垂直的坐标表示：
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