21江苏高考数学一轮复习课后限时集训 利用导数解决函数的极值最值 含解析

利用导数解决函数的极值、最值建议用时：45分钟

一、选择题

1.函数y＝x

ex在［0,2］上的最大值是( ) A.1

e B.2e2 C.0

D.

12e

1－x

A ［易知y′＝ex，x∈［0,2］，令y′＞0，得0≤x＜1，令y′＜0，得xx1＜x≤2，所以函数y＝ex在［0,1］上单调递增，在(1,2］上单调递减，所以y＝ex1

在［0,2］上的最大值是y|x＝1＝e，故选A.］

2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

D ［由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－22时，1－x<－1，此时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，故选D.］

2

3.函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x1＋x22等于( )

8A.9 16C.9

10B.9 28D.9

C ［函数f(x)的图象过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)224422

＝0的两个根，所以x1＋x2＝3，x1x2＝－3，所以x1＋x22＝(x1＋x2)－2x1x2＝＋＝93169.］

4.(2019·东莞模拟)若x＝1是函数f(x)＝ax＋ln x的极值点，则( ) A.f(x)有极大值－1 C.f(x)有极大值0

A ［∵f(x)＝ax＋ln x，x＞0， 1∴f′(x)＝a＋x， 由f′(1)＝0得a＝－1， 11－x

∴f′(x)＝－1＋x＝x.

B.f(x)有极小值－1 D.f(x)有极小值0

由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1， ∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴f(x)极大值＝f(1)＝－1，无极小值，故选A.］

5.已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间［k,2］上的最大值为28，则实数k的取值范围为( )

A.［－3，＋∞) C.(－∞，－3)

B.(－3，＋∞) D.(－∞，－3］

D ［由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (－∞，－3) ＋ ↗ －3 0 极大值 (－3,1) － ↘ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ ↗ 又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间［k,2］上的最大值为28，所以k≤－3.］

二、填空题

6.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 .

(－∞，－1) ［∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. ∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， ∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.］

7.已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a＝ .

111 ［f′(x)＝－a，x＞0.当a≤0时，f′(x)＝exx－a＞0恒成立，函数f(x)单111调递增，不存在最大值；当a＞0时，令f′(x)＝x－a＝0，解得x＝a.当0＜x＜a