2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年福建，理1，5分】已知复数z的共轭复数z?1?2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位
于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】D
【解析】z的共轭复数z?1?2i，则z?1?2i，对应点的坐标为(1,?2)，故选D． （2）【2013年福建，理2，5分】已知集合A??1,a?，B??1,2,3?，则“a?3”是“A?B”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】a?3?A?B，A?B?a?2，或3．因此是充分不必要条件，故选A．
x2（3）【2013年福建，理3，5分】双曲线?y2?1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
4254524（A）（B）（C） （D）
555 5
【答案】C
x2x22【解析】?y?1的顶点坐标为(?2,0)，渐近线为?y2?0，即x?2y?0．带入点到直线距离公式
44?2Ax0?Bx0?C25?=，故选C． d?222251?(?2)A?B（4）【2013年福建，理4，5分】某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测
50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)加以统计，得试成绩分为6组：[40,到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
（A）588 （B）480 （C）450 （D）120 【答案】B
【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道P?(0.03?0.025?0.015?0.01)*10?0.8，
故分数在60以上的人数为600?0.8?480人，故选B．
（5）【2013年福建，理5，5分】满足a,b???1,0,1,2?，且关于x的方程ax2?2x?b?0有实数解的有序数对(a,b)的 个数为（ ）
（A）14 （B）13 （C）12 （D）10 【答案】B
【解析】方程ax2?2x?b?0有实数解，分析讨论①当a?0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此
时b 可以取4个值．故有4种有序数对；②当a?0时，需要??4?4ab?0，即ab?1．显然有3
（1,2）（21,）（2,2）个实数对不满足题意，分别为，，．?(a,b)共有4*4?16中实数对，故答案应为
16?3?13，故选B．
（6）【2013年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，若输入的k?10，则该算法的功能是（ ）
（A）计算数列?2n?1?的前10项和 （B）计算数列?2n?1?的前9项和
（C）计算数列?2n?1?的前10项和 （D）计算数列?2n?1?的前9项和
【答案】A
【解析】第一循环：S?1,i?2，i?10第二条：S?3,i?3,i?10第三条：S?7,i?4,i?10…．．第九循环：
1
1(1?210)S?2?1,i?10,i?10．第十循环：S?2?1,i?11,i?10，输出S．根据选项，S?，
1?2故为数列2n?1的前10项和，故选A．
????????（7）【2013年福建，理7，5分】在四边形ABCD中，AC?(1,2)，BD?(?4,2)，则四边形的面积为（ ）
910（A）5 （B）25 （C）5 （D）10 【答案】C
【解析】由题意，容易得到AC?BD．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和
11即S?(AO*DO?AO*BO?CO*DO?CO*BO)?(AC*BD)．容易算出AC?5,BD?25，则
22算出S?5，故选C．
（8）【2013年福建，理8，5分】设函数f(x)的定义域为R，x0(x0?0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确
的是（ ）
（A）?x?R,f(x)?f(x0)（B）?x0是f(?x)的极小值点
（C）?x0是?f(x)的极小值点 （D）?x0是?f(?x)的极小值点 【答案】D
【解析】A．?x?R,f(x)?f(x0)，错误．x0(x0?0)是f(x)的极大值点，并不是最大值点；B．?x0是f(?x)的
?x0是?f(x)极小值点．错误．f(?x)相当于f(x)关于y轴的对称图像，故?x0应是f(?x)的极大值点；C．的极小值点．错误．?f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图像，故x0应是?f(x)的极小值点．跟?x0没有
关系．D．?x0是?f(?x)的极小值点．正确．?f(?x)相当于f(x)先关于y轴的对象，再关于x轴的对
称图像．故D正确，故选D．
（9）【2013年福建，理9，5分】已知等比数列{an}的公比为q，记bn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?...?am(n?1)?m，
cn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?...?am(n?1)?m则以下结论一定正确的是（ ）
（A）数列?bn?为等差数列，公差为qm （B）数列?bn?为等比数列，公比为q2m （C）数列?cn?为等比数列，公比为qm （D）数列?cn?为等比数列，公比为qm 【答案】C
2m2m【解析】等比数列{an}的公比为q， ?am??a1?a2m?1 同理可得 ?1??a1q??a1??a1q22m
22am?2??a2?a2m?2，am?m??am?a2m?m，c1?a1?a2?...?am，c2?am?1?am?2?...?am?m，
c3?a2m?1?a2m?2?...?a2m?m?c22?c1?c3?数列{cn}为等比数列，
2c2am?1?am?2?...?am?ma1?a2?...?am?q2m????q2m?qm，故选C． c1a1?a2?...?ama1?a2?...?am（10）【2013年福建，理10，5分】设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y?f?x?满
足：（ⅰ）T??f?x?x?S?；（ⅱ）对任意x1,x2?S，当x1?x2时，恒有f?x1??f?x2?，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
（A）A?N*，B?N （B）A??x?1?x?3?，B??xx??8或0?x?10? （C）A??x0?x?1?，B?R （D）A?Z，B?Q 【答案】D
5?5x?(?1?x?3)?【解析】根据题意可知，令f(x)?x?1，则A选项正确；令f(x)??2，则B选项正确； 2?(x??1)??81令f(x)?tan?(x?)，则C选项正确，故选D．
2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
2
（11）【2013年福建，理11，4分】利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a，则时间“3a?1?0”发生的概率
为 ． 2【答案】
311?113?2． 【解析】?3a?1?0?a?，?a产生0~1之间的均匀随机数?a?(,1)?p?3133（12）【2013年福建，理12，4分】已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测
试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ． 【答案】12?
【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，
3?22?R球??3?S表?4?R2?12?．
2（13）【2013年福建，理13，5分】如图?ABC中，已知点D在BC边上，AD?AC，
22sin?BAC?，AB?32，AD?3，则BD的长为 ．
3【答案】3 【解析】?sin?BAC?sin(?BAD??2)?cos?BAD?22222?根据余弦定理可得cos?BAD?AB?AD?BD， 32AB?AD22(32)2?32?BD2???BD?3．
32?32?3x2y2（14）【2013年福建，理14，4分】椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左．右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直
ab线y?3?x?c?与椭圆C的一个交点M满足?MF1F2?2?MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ． 【答案】3?1
【解析】由直线方程y?3(x?c)?直线与x轴的夹角?MF1F2??3或2?，且过点F1??c,0???MF1F2?2?MF2F1 3即F1M?F2M?在Rt?F1MF2中，F1F2?2c,F1M?c,F2M?3c?由椭圆的第一
3c2定义可得2a?c?3c???3?1．
a1?31（15）【2013年福建，理15，4分】当x?R，x?1时，有如下表达式：1?x?x2???xn???，两边同
1?x11111122222ndx． 时积分得：?1dx??xdx??xdx????xdx????2000001?x11?1?1?1?1?1?从而得到如下等式：1??????????????22?2?3?2?n?1?2?0n??MF1F2?2?MF2F1??23n?1???ln2．
23n?1111?1?12?1?1?1?请根据以下材料所蕴含的数学思想方法计算：C??Cn????Cn??????Cnn??22n?1?2??2?3?2?13【答案】[()n?1?1]
n?120122nn【解析】由Cn1?Cnx?Cnx?...?Cnx?...?(1?x)n
? _．
两边同时积分得：2C01dx?2C1xdx?2C2x2dx?...?2Cnxndx?...?nnnn1111?0?0?0?0?120(1?x)ndx.
1111212131n1n?113n?1从而得到如下等式：Cn0??Cn?()?Cn?()?...?Cn?()?[()?1]．
22232n?12n?12三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2013年福建，理16，13分】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的
3
22，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只 35有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,Y，求X?3的概率；
（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学
期望较大？
22解：（1）由已知得：小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得
35分X?3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X?5”，
2241111?P?X?5????，?P?A??1?P?X?5??，?这两人的累计得分X?3的概率为．
35151515（2）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择
方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)
中奖率为
222424由已知：X1~B(2,)，X2~B(2,)，?E(X1)?2??，E(X2)?2??，
353355812?E(2X1)?2E(X1)?，E(3X2)?3E(X2)?，?E(2X1)?E(3X2)，
35?他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．
（17）【2013年福建，理17，13分】已知函数f?x??x?alnx?a?R?．
（1）当a?2时，求曲线y?f?x?在点A?1,f?1??处的切线方程； （2）求函数f?x?f(x)的极值． 解：函数f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?1?a． x2（1）当a?2时，f(x)?x?2lnx，f?(x)?1?(x?0)，?f(1)?1,f?(1)??1，
x?y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y?1??(x?1)，即x?y?2?0．
ax?a?,x?0可知： xx①当a?0时，f?(x)?0，函数f(x)为(0,??)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a?0时，由f?(x)?0，解得x?a；?x?(0,a)时，f?(x)?0，x?(a,??)时，f?(x)?0， ?f(x)在x?a得极小值，且极小值为f(a)?a?alna，无极大值．
综上：当a?0时，函数f(x)无极值当a?0时，函数f(x)在x?a处取得极小值a?alna，无极大值．
O为坐标原点，（18）【2013年福建，理18，13分】如图，在正方形OABC中，点A的坐标为?10,0?，
（2）由f?(x)?1?点C的坐标为?0,10?．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1,A2?A9和B1,B2?B9，
*连结OBi，过Ai做x轴的垂线与OBi交于点P． i?i?N,1?i?9?（1）求证：点Pi(i?N,1?i?9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程； （2）过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M,N，若?OCM与?OCN的面积比为
4:1，求直线的方程．
*?直线OBi的方程为y?解：（1）依题意，过Ai?i?N*,1?i?9?且与x轴垂直的直线方程为x?i，?Bi(10,i)，
?x?i122设Pi坐标为(x,y)，由?得：y?x，即x?10y， i?10y?x?10??Pi(i?N*,1?i?9)都在同一条抛物线上，且抛物线E方程为x2?10y．
ix 10?y?kx?10（2）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为y?kx?10，由?2，得x2?10kx?100?0，
?x?10y4
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