此时??100k2+400?0，直线与抛物线E恒有两个不同的交点M,N．
x1?x2?10k设：M(x1,y1)N(x2,y2)，则?，?S?OCM?4S?OCN，?x1?4x2，又?x1?x2?0，?x1??4x2 ??x1?x2??100?y?kx?1033分别带入?2，解得k??直线的方程为y??x+10，即3x?2y?20?0或3x+2y?20?0．
22?x?10y（19）【2013年福建，理19，13分】如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧棱AA1? 底面ABCD，
AB//CD，AA1?1，AB?3k，AD?4k，BC?5k，DC?6k?k?0?．
（1）求证：CD?平面ADD1A1；
6，求k的值； 7（3）现将与四棱柱ABCD?A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接
成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼 接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f?k?，写出f?k?的表达式（直接写出答案，不必要说明 （2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为
理由）．
解：（1）取CD中点E，连接BE，QAB//DE，AB?DE?3k，?四边形ABED为平行四边形，?BE//AD且
BE?AD?4k，在VBCE中，QBE?4k,CE?3k,BC?5k?BE2?CE2?BC2，
??BEC?90?，即BE?CD，又QBE//AD，所以CD?AD，QAA1?平面ABCD，
CD?平面ABCD，?AA1?CD，又AA1IAD?A，?CD?平面ADD1A1．
uuuruuuruuuur（2）以D为原点，DA,DC,DD1的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
uuurA(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以AC?(?4k,6k,0)，
uuuruuuruuur???4kx?6ky?0AC?n?0设平面AB1C的法向量n?(x,y,z)，则由?，得，AB1?(0,3k,1)，AA1?(0,0,1)，?r?uuu3ky?z?0?? ?AB1?n?0取y?2，得n?(3,2,?6k)，设AA1与平面AB1C所成角为?，
uuuruuur6k6AA,n则sin??|cos?AA1,n?|?uuu??，解得k?1．故所求k的值为1． r136k2?137|AA1|?|n|5?272k?26k,0?k???18（3）共有4种不同的方案f(k)??．
5?36k2?36k,k??18?（20）【2013年福建，理20，14分】已知函数f?x??sin??x??????0,0?????的周期为?，图像的一个对称
???中心为?,0?，将函数f?x?图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向
?4??个单位长度后得到函数g?x?的图像． 2（1）求函数f?x?与g?x?的解析式；
右平移
????（2）是否存在x0??,?，使得f?x0?,g?x0?,f?x0?g?x0?按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的
64??个数；若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F?x??f?x??ag?x?在?0,n??内恰有2013个零点．
?解：（1）由函数f(x)?sin(?x??)的周期为?，??0，得??2，又曲线y?f(x)的一个对称中心为(,0)，
4?????(0,?)故f()?sin(2???)?0，得??，所以f(x)?cos2x，将函数f(x)图象上所有点的横坐
442?标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y?cosx的图象，再将y?cosx的图象向右平移个单位
25
长度后得到函数g(x)?sinx．
12??1（2）当x?(,)时，?sinx?，0?cos2x?，所以sinx?cos2x?sinxcos2x，问题转化为方程
226422cos2x?sinx?sinxcos2x在(?,?)内是否有解，设G(x)?sinx?sinxcos2x?2cos2x，x?(?,?)
6464????则G?(x)?cosx?cosxcos2x?2sin2x(2?sinx)，因为x?(,)，所以G?(x)?0，G(x)在(,)内单 6464?2?1??调递增又G()???0，G()??0，且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在(,)内 426464??存在唯一零点x0，即存在唯一的x0?(,)满足题意． 64（3）解法一：
依题意，F(x)?asinx?cos2x，令F(x)?asinx?cos2x?0，当sinx?0，即x?k?(k?Z)时， cos2x?1，从而x?k?(k?Z)不是方程F(x)?0的解，所以方程F(x)?0等价于关于x的方程
cos2x，x?k?(k?Z)，现研究x?(0,?)U(?,2?)时方程解的情况． a??sinxcos2x令h(x)??，x?(0,?)U(?,2?)，则问题转化为研究直线y?a与曲线y?h(x)在
sinxcosx(2sin2x?1)?3??，令，得或． x?(0,?)U(?,2?)的交点情况，h?(x)?h(x)?0x?x?sin2x22当x变化时，h(x)和h?(x)变化情况如下表
x h?(x) h(x) ?1 当x?0且x趋近于0时，h(x)趋向于??；当x??且x趋近于?时，h(x)趋向于??； 当x??且x趋近于?时，h(x)趋向于??；当x?2?且x趋近于2?时，h(x)趋向于??， 故当a?1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有无交点，在(?,2?)内有2个交点； 当a??1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有2个交点，在(?,2?)内无交点；
当?1?a?1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有2个交点，在(?,2?)内有2个交点
由函数h(x)的周期性，可知当a??1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,n?)内总有偶数个交点， 从而不存在正整数n，使得直线y?a与曲线y?h?x?在?0,n??内恰有2013个交点；当a??1时，
2013?3?671，?n?671?2?1342，直线y?a与曲线y?h?x?在?0,?????,2??内有3个交点，由周期性，
(0,) 2? Z ??2 0 (,?) 2? ] ?(?,3?) 2? ] 3? 20 (3?,2?) 2? Z 综上，当a??1，n?1342时，函数F?x??f?x??ag?x?在?0,n??内恰有2013个零点． 解法二：
2?]上的零点的情况． 依题意，F?x??asinx?cos2x??2sin2x?asinx?1．现研究函数F?x?在(0，设t?sinx，p?t???2t2?at?1??1?t?1?，则函数p?t?的图象是开口向下的抛物线，又p?0??1?0，
0) （另一个零点t2?1，舍去）p??1???a?1，p?1??a?1．当a?1时，函数p?t?有一个零点t1?(?1，， 2?)；当a??1时，函数p?t?有一个零点t1?(0，1) 2?]上有两个零点x1，x2，且x1，x2?(?，F?x?在(0，2?]上有两个零点x1，x2，且x1，x2?(0,?)；当?1?a?1 （另一个零点t2??1，舍去），F?x?在(0，0)，另一个零点t2?(0，1)，F?x?在(0,?)和(?，2?)分别有两个零点．时，函数p?t?有一个零点t1?(?1， 由正弦函数的周期性，可知当a??1时，函数F?x?在(0,n?)内总有偶数个零点，从而不存在正整数
0)，另一个零点t2?1；当a??1时，函数p?t? n满足题意．当a?1时，函数p?t?有一个零点t1?(?1，1)，从而当a?1或a??1时，函数F?x?在(0，2?]有3个零点． 有一个零点t1??1，另一个零点t2?(0，由正弦函数的周期性，2013?3?671，所以依题意得n?671?2?1342．
综上，当a?1，n?1342或a??1，n?1342时，F?x??f?x??ag?x?在(0,n?)内恰有2013个零点．
6
本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．
?12?（21）【2013年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知直线l:ax?y?1在矩阵A???对应01??的变换作用下变为直线l':x?by?1．
（1）求实数a,b的值；
?x??x?（2）若点p(x0,y0)在直线上，且A?0???0?，求点p的坐标．
?y0??y0?解：（1）设直线l:ax?y?1上任意一点M?x,y?在矩阵A对应的变换作用下的像是M??x?,y??
?x???12??x??x?2y??x??x?2y?由????，得，又点M??x?,y??在l?上，所以x??by??1， ???????y???01??y??y??y??y?a?1?a?1即x??b?2?y?1，依题意?，解得?．
b?2?1b??1???x0??x0??x0?x0?2y0（2）由A?????，得?，解得y0?0，又点P?x0,y0?在直线上，
yyy?y0?0??0??0所以x0?1故点P的坐标为?1,0?．
（21）【2013年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为
?极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为(2,)，直线的极坐标方程为
4??cos(??)?a，且点A在直线上．
4（1）求a的值及直线的直角坐标方程；
?x?1?cos?（2）圆c的参数方程为?，（?为参数），试判断直线与圆的位置关系．
?y?sin???????解：（1）由点A?2,?在直线?cos?????a上，可得a?2，所以直线的方程可化为?cos???sin??2，
4?4???从而直线的直角坐标方程为x?y?2?0． （2）由已知得圆C的直角坐标方程为?x?1??y2?1，所以圆心为?1,0?，半径r?1，
以为圆心到直线的距离d?2?1，所以直线与圆相交． 223
（21）【2013年福建，理21（2），7分】（选修4-5：不等式选讲）设不等式x?2?a(a?N*)的解集为A，且?A，
2
1?A． 2（1）求a的值；
（2）求函数f?x??x?a?x?2的最小值． 313113解：（1）因为?A，且?A，所以?2?a，且?2?a，解得?a?，又因为a?N*，所以a?1．
222222（2）因为x?1?x?2??x?1???x?2??3，当且仅当?x?1??x?2??0，即?1?x?2时取得等号，
所以f?x?的最小值为3．
7
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