2021届浙江新高考数学一轮复习：第四章 8 第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例

第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例

1．实际问题中的常用述语 (1)仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

(2)方位角

从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)． (3)方向角

相对于某一正方向的角(如图③)．

①北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②东北方向：指北偏东45°. ③其他方向角类似．

2．解三角形应用题的一般步骤

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( )

(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )

π

(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为?0，?.( )

2??

(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ) π

(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．( )

2答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ [教材衍化]

1．(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为________m.

解析：由正弦定理得

ABAC

＝，又因为∠B＝30°，

sin∠ACBsin B

50×1222

AC·sin∠ACB

所以AB＝＝

sin B答案：502

＝502(m)．

2．(必修5P13例3改编)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．

解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，

∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°， 又∠PBC＝γ＝60°，

所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°， 6－2aPB

所以＝，所以PB＝a，

2sin 30°sin 15°所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ＝

6－22

a×sin 60°＋asin 15°＝a. 22

2

a 2

答案：

[易错纠偏]

(1)方向角与方位角概念不清； (2)仰角、俯角概念不清；

(3)不能将空间问题转化为解三角形问题．

1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为( )

A．北偏西5° C．北偏西15°

B．北偏西10° D．北偏西20°

解析：选B.易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.

2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝________．

答案：130°

3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距________m.

解析：由题意画示意图，如图， OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝

3

×30＝103(m)， 3

在△MON中，由余弦定理得，MN＝ 900＋300－2×30×103×答案：103

测量距离

如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条

笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1

km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)

【解】 在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1，因为∠ABDABAD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝3，在△ACD中，

sin∠ADBsin∠ABD

3

＝300＝103(m)． 2

由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°， 得9＝3＋CD2＋23×

3

CD， 2

33－3

， 2

即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝BC＝BD＋CD＝

33－1

， 2

两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米，即2.5千米，而5

＝2.5， 2

所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．

33－136－1

<＝22

(变条件、变问法)若本例条件“BD＝1 km，AC＝3 km”变为“BD＝200 m，CD＝300 m”，其他条件不变，则这条索道AC长为________．

解析：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°. 因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°. 由正弦定理，得

BDAD

＝，

sin∠DABsin∠ABD

200AD所以＝.

sin 30°sin 120°

200×sin 120°

所以AD＝＝200 3(m)．

sin 30°在△ADC中，DC＝300 m，∠ADC＝150°， 所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC ＝(200 3)2＋3002－2×2003×300×cos 150° ＝390 000，所以AC＝10039. 故这条索道AC长为10039 m. 答案：10039 m

距离问题的类型及解法

(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．

(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．