如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选
取相距3千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠
ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解：在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°， 所以AC＝CD＝3 km.
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°. 所以BC＝
3sin 75°6＋2
＝.
2sin 60°
AB2＝(
3)2＋
2
?6＋2?－2×3×6＋2×cos 75°＝3?2?2??
在△ABC中，由余弦定理，得＋2＋3－3＝5，
所以AB＝5 km，
所以A，B之间的距离为5 km.
测量高度
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶
D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
【解析】 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
600BC
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
sin 45°sin 30°解得BC＝3002 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×【答案】 1006
求解高度问题的注意事项
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；
3
＝1006(m)． 3
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
(2020·浙江省名校协作体联考)如图，为了估测某塔
的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.
解析：由题意可知，设CD＝h，则AD＝
h
，BD＝3h，在△ADB中，∠ADB＝180°3
－20°－40°＝120°，所以由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，可得1302＝3h2＋
1h2h
－?，解得h＝1039，故塔的高度为1039 m. －2·3h··?33?2?
答案：1039
测量角度
一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile
到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.
(1)求AC的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小． 【解】 (1)由题意，在△ABC中，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4， 根据余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC ＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24， 所以AC＝26.
3
4×
22
(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝＝，
226所以∠CAB＝45°.
解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
1.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．
AC解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且
BC
ACsin 120°1
＝3，由正弦定理得＝＝3，所以sin∠BAC＝.又因为0°<∠BAC<60°，所
BCsin∠BAC2以∠BAC＝30°.所以甲船应沿北偏东30°的方向前进．
答案：30°
2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α的方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2.故AC＝28，BC＝20. BCAC
根据正弦定理得＝，
sin αsin 120°20sin 120°53
解得sin α＝＝.
2814
53
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
14
求解几何计算问题
(2020·浙江名校联考)如图，在平面四边形ABCD中，0<∠
π33
DAB<，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC.
22
(1)求sin∠ABD的值；
2π
(2)若∠BCD＝，求BC的长．
3
1133
【解】 (1)因为△ABD的面积S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，
222所以sin∠DAB＝
3
. 2
πππ1
又0<∠DAB<，所以∠DAB＝，所以cos∠DAB＝cos＝.
2332由余弦定理得BD＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠DAB＝7， ADsin∠DAB21
由正弦定理得sin∠ABD＝＝.
BD7π
(2)法一：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，
2π
sin∠DBC＝sin?－∠ABD?＝cos∠ABD＝
?2?1－sin2∠ABD＝
27
. 7
BDsin∠DBC43CDBD
在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝.
3sin∠DBCsin∠DCBsin∠DCB由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2， 可得3BC2＋43BC－5＝0，解得BC＝故BC的长为
3
. 3
353或BC＝－(舍去)． 33
π
法二：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，
2π
sin∠DBC＝sin?－∠ABD?＝cos∠ABD＝
?2?1－sin2∠ABD＝
27
. 7
π21
cos∠DBC＝cos?－∠ABD?＝sin∠ABD＝.
7?2?
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