中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题

型压轴题

Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

三等角型相似三角形

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题

【例1】如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° A （1）求证：△BDE∽△CFD

（2）当BD=1，FC=3时，求BE

【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B=∠C=∠EDF=60°

F 再用外角可证∠BED=∠CDF，可证△BDE与△CFD相似排出相似比便可 E

求得线段BE的长度

解：（1）∵△ABC是等边三角形，∠EDF=60°

∴∠B=∠C=∠EDF=60°

∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED B D ∴∠BED=∠FDC ∴△BDE∽△CFD （2）∵△BDE∽△CFD

FCCD∴ ?BDBE∵BD=1，FC=3，CD=5

5∴BE=

3A 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例2】如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，

求证：△BDE∽△DFE

C

F E 【思路分析】比较例1来说区别仅是点D成为了BC的中点，所以△BDE与△CFD相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD=CD的条件 可证得△BDE和△DFE相似 B 解： ∵AB=AC，∠EDF=∠B

∴∠B=∠C=∠EDF

∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED ∴∠BED=∠FDC ∴△BDE∽△CFD BEDE? ∴又∵BD=CD CDDFBEDEBEBD??∴即 BDDFDEDF ∵∠EDF=∠B

D

C

∴△BDE∽△DFE

点评：三等角型相似中若点D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若

BDDE点D是底边中点则有三对相似三角形，△BDE与△CFD相似后若得加上BD=CD?CFDF可证得△CFD与△DFE相似

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； A （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域． M （3）当△APM为等腰三角形时， 求PB的长．

【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。对△C B APM P 进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP∽△PCM相关的结论 解：（1）∵AB=AC，∠APM=∠B∴∠APM=∠B=∠C

∵∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP A ∴∠BAP=∠MPC

M

∴△ABP∽△PCM

P （2）∵BP=x，CM=y，CP=8-x

B C ABBP∵ ?PCMC5x? ∴

8?xyA M

P 128B ∴y??x?x(0?x?8)

55（3）当AP=PM时

PMPC∵∴PC=AB=5 ?PAAB∴BP=3 当AP=AM时

∵∠APM=∠B=∠C

∴∠PAM=∠BAC即点P与点B重合 ∴P不与点B、C重合 ∴舍去 当MP=AM时

∴∠MAP=∠MPA ∴△MAP∽△ABC MPAB5?? ∴

APBC8PMPC58?x5??即? ∴

PAAB85839∴BP=

8点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP和△PCM中简化运算。

C

【例4】（1）在?ABC中，AB?AC?5，BC?8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持?APQ??ABC.

①若点P在线段CB上（如图10），且BP?6，求线段CQ的长；

②若BP?x，CQ?y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的

定义域；

（2）正方形ABCD的边长为5（如图12），点P、Q分别在直线．．

A

Q

B

A

B

备用图

P

C

C

CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持?APQ?90?.

当CQ?1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写

A D

出结果）.

【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角B C 的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题

图12

是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原

来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。

解：（1）∵?APQ??CPQ??B??BAP，?APQ??ABC，

∴?BAP??CQP.

又∵AB?AC，∴?B??C. ∴?QCP∽?ABP.

CQCP. ?BPAB∵AB?AC?5，BC?8，BP?6，CP?8?6?2， CQ212∴?，CQ?.

655CQCP?（2）若点P在线段CB上，由（1）知. BPAB∵BP?x，BC?8， ∴CP?BC?BP?8?x，

y8?x18又∵CQ?y，AB?5，∴ ?，即y??x2?x.

x55518故所求的函数关系式为y??x2?x，(0?x?8).

55若点P在线段CB的延长线上，如图11. ∴

∵ ?APQ??APB??CPQ，

A

P

B 备用图

C Q

?ABC??APB??PAB，

?APQ??ABC，∴ ?CPQ??PAB.

又∵?ABP?180???ABC，

?PCQ?180???ACB，?ABC??ACB，

∴?ABP??PCQ.∴?QCP∽?PBA.∴

BPAB?. CQPC∵BP?x，CP?BC?BP?8?x，AB?5，CQ?y， ∴

x518?，即y?x2?x (x?0). y8?x555?55?5，或BP?. 225?35. 2?5?35. 2（2）当点P在线段BC上，BP?当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，BP?当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，BP?点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。 强化训练：

1.如图，在△ABC中，AB?AC?8，BC?10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且?ADE??C． (1) 求证：△ABD∽△DCE；

A

(2) 如果BD?x，AE?y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； E C

B (3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

2.已知：如图，在△ABC中，AB?AC?5，BC?6，点D在边

D

A

F

AB上，DE?AB，点E在边BC上．又点F在边AC上，且

?DEF??B．

(1) 求证：△FCE∽△EBD；

(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使S?FCE?4S?EBD． 如果有可能，那么求出BD的长．如果不可能请说明理由．

D B E

C