25.（本题满分14分） （1）（本小题满分3分）
解：把（1，－1）代入y＝x2＋bx＋c，可得b＋c＝－2， ………………1分 又因为b－c＝4，可得b＝1，c＝－3. ………………3分 （2）（本小题满分4分）
解：由b＋c＝－2，得c＝－2－b. 对于y＝x2＋bx＋c，
当x＝0时，y＝c＝－2－b.
b
抛物线的对称轴为直线x＝－.
2b
所以B（0，－2－b），C（－，0）.
2因为b＞0，
b
所以OC＝，OB＝2＋b. ………………5分
233b3
当k＝时，由OC＝OB得＝（2＋b），此时b＝－6＜0不合题意.
4424
所以对于任意的0＜k＜1，不一定存在b，使得OC＝k·OB . ………………7分
（3）（本小题满分7分）
解： 方法一：
由平移前的抛物线y＝x2＋bx＋c，可得
b2b2b2b2
y＝（x＋）－＋c，即y＝（x＋）－－2－b.
2424
因为平移后A（1，－1）的对应点为A1（1－m，2b－1）
可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度.
2
b2b则平移后的抛物线解析式为y＝（x＋＋m）－－2－b＋2b. ………………9分 242
b2b即y＝（x＋＋m）－－2＋b. 24
把（1，－1）代入，得
2
b2b（1＋＋m）－－2＋b＝－1. 242b2b（1＋＋m）＝－b＋1. 24
bb
（1＋＋m）2＝（－1）2.
22bb
所以1＋＋m＝±（－1）.
22
bb
当1＋＋m＝－1时，m＝－2（不合题意，舍去）；
22
第9页
bb
当1＋＋m＝－（－1）时，m＝－b. ………………10分
2233因为m≥－，所以b≤.
22
3
所以0＜b≤. ………………11分
2b2b2
所以平移后的抛物线解析式为y＝（x－）－－2＋b.
24bb2
即顶点为（，－－2＋b）. ………………12分
24b21
设p＝－－2＋b，即p＝－ （b－2）2－1.
441
因为－＜0，所以当b＜2时，p随b的增大而增大.
43
因为0＜b≤，
2
317
所以当b＝时，p取最大值为－. ………………13分
216
317
此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，－）. ………………14分
416
方法二：
因为平移后A（1，－1）的对应点为A1（1－m，2b－1）
可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度. 由平移前的抛物线y＝x2＋bx＋c，可得
b2b2b2b2
y＝（x＋）－＋c，即y＝（x＋）－－2－b.
2424
2
b2b则平移后的抛物线解析式为y＝（x＋＋m）－－2－b＋2b. ………………9分 242
b2b即y＝（x＋＋m）－－2＋b. 24
把（1，－1）代入，得
2
b2b（1＋＋m）－－2＋b＝－1. 24
可得（m＋2）（m＋b）＝0.
所以m＝－2（不合题意，舍去）或m＝－b. ………………10分 33
因为m≥－，所以b≤.
22
3
所以0＜b≤. ………………11分
2
第10页
bb2
所以平移后的抛物线解析式为y＝（x－2）2－4－2＋b.
即顶点为（b2，－b2
4－2＋b）. ………………12分
b2设p＝－4－2＋b，即p＝－14 （b－2）2－1.
因为－1
4＜0，所以当b＜2时，p随b的增大而增大.
因为0＜b≤3
2
，
所以当b＝32时，p取最大值为－17
16
. ………………13分此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（34，－17
16）. 第11页
………………14分
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