【高中数学】单元《三角函数与解三角形》知识点归纳
一、选择题
??????1．若???,??，2cos2??sin????，则sin2?的值为（ ）
?4??2?A．?7 8B．
7 8C．?
18D．
1 8【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos??sin??倍角正弦公式计算可得； 【详解】
解：因为2cos2??sin?2，再将两边平方利用二4?????? ?4?所以2cos??sin??sin?22??4cos??cos?4sin?
所以2?cos??sin???cos??sin???2?cos??sin?? 2???Q???,??，cos??sin??0
?2?所以cos??sin??22 4所以?cos??sin???所以sin2???故选：A 【点睛】
11122，即cos??2cos?sin??sin??，1?sin2?? 8887 8本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；
2．已知VABC的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x米后，仍组成一个钝角三角形，则x的取值范围是（ ） A．0?x?【答案】D 【解析】 【分析】
1 2B．
1?x?1 2C．1?x?2 D．0?x?1
根据余弦定理和三角形三边关系可求得x的取值范围. 【详解】
将VABC的三条边的边长均增加x米形成VA?B?C?，
设VA?B?C?的最大角为?A?，则?A?所对的边的长为?x?4?米，且?A?为钝角，则
cos?A??0，
??x?2?2??x?3?2??x?4?2?所以??x?2???x?3??x?4，解得0?x?1.
?x?0?故选：D. 【点睛】
本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.
3．小赵开车从A处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40?的方向直线行驶，30分钟后到达B处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A的南偏东70?方向的C处，且A与C的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C处接小王，则小赵到达C处所用的时间大约为（ ）
?7?2.6
?
A．10分钟 【答案】B 【解析】 【分析】
B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟
首先根据题中所给的条件，得到?BAC?30?，AB?20，AC?153，两边和夹角，之后应用余弦定理求得BC?57?13（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】
根据条件可得?BAC?30?，AB?20，AC?153， 由余弦定理可得BC2?AB2?AC2?2AB?AC?cos30??175， 则BC?57?13（千米），
由B到达C所需时间约为故选：B． 【点睛】
13?0.25（时）?15分钟． 52该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.
4．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且?ABC的面积S?25cosC，且
a?1,b?25，则c?（ ）
A．15 【答案】B 【解析】
由题意得，三角形的面积S? 所以cosC?B．17
C．19 D．21 1absinC?25cosC，所以tanC?2， 25， 5 由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC?17，所以c?17，故选B.
?sin(x?a),x?05．已知函数f(x)??的图像关于y轴对称，则y?sinx的图像向左平移
?cos(x?b),x?0（ ）个单位，可以得到y?cos(x?a?b)的图像（ ）. A．
? 4B．
? 3C．
? 2D．?
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件确定a,b关系，再化简y?cos?x?a?b?，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】
??sin?x?a?,x?0因为函数f?x???的图像关于y轴对称，所以
??cos?x?b?,x?0??????sin???a??cos??b?，sin????a??cos???b?，即?2??2?sinb?cosa，sina?cosb，因此a?b?π?2kπ(k?Z)， 2从而y?cos?x?a?b???sinx?sin?x???,选D. 【点睛】
本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.
x2y26．如图所示，已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F，双曲线的右支上
ab一点A ，它关于原点O的对称点为B，满足?AFB?120?，且BF?3AF，则双曲线
C的离心率是( )
A．27 7B．
5 2C．7 2D．7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用双曲线的性质，推出AF，BF，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】
x2y2解：双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于
ab原点O的对称点为B，满足?AFB?120?，且|BF|?3|AF|，可得|BF|?|AF|?2a，|AF|?a，|BF|?3a，
1?F?BF?60?，所以F?F2?AF2?BF2?2AFgBFcos60?，可得4c2?a2?9a2?6a2?，
24c2?7a2，
所以双曲线的离心率为：e?故选：C．
7． 2
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
7．已知函数f(x)?Asin(?x??)?x?R,A?0,??0,|?|?示，则?，?分别为（ ）
?????的图象（部分）如图所2?
A．???,??【答案】C 【解析】 【分析】
?3
B．??2?,???3
C．???,???6
D．??2?,???6
由最大值可确定振幅A，由周期确定?，由f()?2确定?. 【详解】 由图可得，A?2，所以2sin(??又??1312?T511???，所以T??2，???，又f()?2，
34632?1?????)?2，????2k?,k?Z，即???2k?,k?Z， 3326π. 6?2故选：C 【点睛】
档题.
，故??本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中
8．已知函数f?x??asinx?3cosx的一条对称轴为x?5?，函数f?x?在区间6?x1,x2?上具有单调性，且f?x1???f?x2?，则下述四个结论：
①实数a的值为1；
②x1,f?x?和x2,f?x2?两点关于函数f?x?图象的一条对称轴对称； ③x2?x1的最大值为?， ④x1?x2的最小值为
????2?． 3其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据x?B．①③④ C．①④ D．③④
5?是函数f?x?的一条对称轴，确定函数f?x?，再根据函数f?x?在区间6T??，然后由f?x1???f?x2?，得到2?x1,x2?上具有单调性，得到x2?x1的最大值为
1122?x,f?x??和?x,f?x??两点关于函数f?x?的一个对称中心对称求解验证.
【详解】 ∵x??5??5??x?， 是函数f?x?的一条对称轴，∴f?x??f?6?3??5??3?33，即，所以a?1，①正确； ?3??a??22?令x?0，得f?0??f????∴f?x??sinx?3cosx?2sin?x??．
3??又因为函数f?x?在区间?x1,x2?上具有单调性， ∴x2?x1的最大值为
T??，且f?x1???f?x2?， 2∴x1,f?x1?和x2,f?x2?两点关于函数f?x?的一个对称中心对称，
??????????x??x???2?1∴?，k?Z， 3??3?x1?x2?????k?2232?∴x1?x2?2k??，k?Z，
3当k?0时，x1?x2取最小值故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.
2?，所以①③④正确，②错误． 3
9．在?ABC中，若sinAsinB?cosA．等边三角形 【答案】B 【解析】
试题分析：因为sinAsinB?cos22C，则?ABC是（ ） 2C．不等边三角形
D．直角三角形
B．等腰三角形
1?cosCC，，所以，sinAsinB?即
222sinAsinB?1?cos[??(A?B)],cos(A?B)?1,故A=B，三角形为等腰三角形，选B。
考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。
点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。
10．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A．sin 【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可． 【详解】
由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan＞0.故选C 【点睛】
本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．
B．cos
C．tan
D．cos2θ
11．已知函数f(x)?sin?x?3cos?x(??0)的图象关于直线x?值为（ ） A．
?8
对称，则?的最小
1 3B．
2 3C．
4 38D．
3【答案】C 【解析】 【分析】
利用辅助角公式将函数y?f?x?的解析式化简为f?x??2sin??x??????，根据题意得出3??8???3??2?k??k?Z?，可得出关于?的表达式，即可求出正数?的最小值.
【详解】
???Qf?x??sin?x?3cos?x?2sin??x??，
3??由于该函数的图象关于直线x?得???8
对称，则
?8???3??2?k??k?Z?，
4?8k?k?Z?， 34Q??0，当k?0时，?取得最小值.
3故选：C.
【点睛】
本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.
12．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x?A．
?），则f（x）的最小值为（ ） 3C．1 2B．
1 43 4D．2 2【答案】A 【解析】 【分析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为f?x??1?【详解】
已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x?1???cos?2x??，再求最值. 23???）， 32??1?cos?2x?=1?cos2x3??22??， ?1?cos2x3sin2x?1???1???1?cos2x?=????， ?2?2223????因为cos?2x?????????1,1?， 3?所以f（x）的最小值为故选：A 【点睛】
1. 2本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
13．已知函数f(x)?3cos(?2f(x)f(x2)成x?2)，若对于任意的x?R，都有f(x1)剟立，则x1?x2的最小值为（ ） A．4 【答案】D 【解析】 【分析】
B．1
C．
1 2D．2
由题意得出f?x?的一个最大值为f?x2?，一个最小值为f?x1?，于此得出x1?x2的最小值为函数y?f?x?的半个周期，于此得出答案． 【详解】
f?x?f?x2?成立. 对任意的x?R，f?x1?剟所以f?x2??f?x?min??3，f?x2??f?x?max?3，所以x1?x2【点睛】
本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．
min?T?2，故选D． 2
14．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则?ABC的面积
?a2?b2?c2?1?2?(ab)??S??4?2???A．2 【答案】A 【解析】 【分析】
B．22
2??.根据此公式，若acosB??b?3c?cosA?0，且??C．6
D．23 a2?b2?c2?2，则?ABC的面积为（ ）
根据acosB??b?3c?cosA?0，利用正弦定理边化为角得
sinAcosB?cosAsinB?3sinCcosA?0，整理为sinC?1?3cosA??0，根据
sinC?0，得cosA??1，再由余弦定理得bc?3，又a2?b2?c2?2，代入公式32?c2?b2?a2?1?2?(bc)??S??4?2???【详解】
??求解. ??由acosB??b?3c?cosA?0得sinAcosB?cosAsinB?3sinCcosA?0， 即sin?A?B??3sinCcosA?0，即sinC?1?3cosA??0， 因为sinC?0，所以cosA??2221， 32bc?2，所以bc?3， 3由余弦定理a?b?c??2bccosA??c2?b2?a2?1?2由?ABC的面积公式得S??(bc)???4?2???故选：A 【点睛】
2?122??3?1?2 4????本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．将函数y?cosx的图象先左移的解析式为（ ） A．y?sin?2x?C．y?sin?【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】
?1，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象
243???1x??
4??2????4??
B．y?sin????1x??
4??23???D．y?sin?2x?? 4?????3????y?cosx?sin?x??向左平移个单位，故变为y?sin?x??，
4??2?4?纵坐标不变，横坐标缩为原来的故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.
3??1?，变为y?sin?2x??. 4??2
x2y216．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左右焦点分别为F1,F2,M为双曲线上一点,若
abcos?F1MF2?1,MF1?2MF2,则此双曲线渐近线方程为( ) 4A．y??3x 【答案】A 【解析】 【分析】
B．y??3x 3C．y??x D．y??2x
因为M为双曲线上一点,可得MF1?MF2?2a,在?F1MF2使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案.
【详解】
22xyQ 双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左右焦点分别为F1,F2,M为双曲线上一点 ab?MF1?MF2?2a?? ?,解得:MF1?4a,MF2?2a ??MF1?2MF2在?F1MF2中,根据余弦定理可得:
222? F1F2?MF1?MF2?2MF1?MF2?cos?F1MF2
可得:(2c)?(4a)?(2a)?2?4a?2a?化简可得:c?2a
由双曲线性质可得:b2?c2?a2?4a2?a2?3a2 可得:b?3a
2221 4Q 双曲线渐近线方程为:y??bx a则双曲线渐近线方程为: y??3x 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
17．?ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B?2A，a?1，b?3，则c?( )
A．23 【答案】B 【解析】
B．2
C．2
D．1
13333, ???,cosA?sinAsinBsin2A2sinAcosA2所以12??3?2?c2?2c?3?32，整理得c?3c?2?0,求得c?1或c=2. 200若c?1，则三角形为等腰三角形，A?C?30,B?60不满足内角和定理，排除.
【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想. 当求出cosA?300后，要及时判断出A?30,B?60，便于三角形的初步定型，也为排2除c?1提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.
??1???)，A(，0)为f(x)图象的对称中
322心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC?4，则f(x)的单调递增区间是(
18．已知函数f(x)?3sin(?x??)(??0，?)
A．(2k?C．(4k?24，2k?)，k?Z 3324，4k?)，k?Z 3324B．(2k???，2k???)，k?Z
3324D．(4k???，4k???)，k?Z
33【答案】C 【解析】 【分析】
由三角函数图像的性质可求得：???2，????6，即f(x)?3sin(?x?)，再令
26?2k??剟x?2k??，求出函数的单调增区间即可.
2262????【详解】
解：函数f(x)?3sin(?x??)(??0，??????)， 221因为A(，0)为f(x)图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，
3T2??22又BC?4，?(23)?()?4，即12?2?16，求得??．
22?2??1??再根据g???k?，k?Z，可得???，?f(x)?3sin(x?)，
23266????242k??，求得4k?剟x4k?， 令2k??剟x?226233故f(x)的单调递增区间为(4k?故选：C． 【点睛】
本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.
24，4k?)，k?Z， 33
19．将函数y?sin(2x??4(?m,m)上无极值点，则m的最大值为（ ）
)的图象向左平移
?个单位，所得图象对应的函数在区间43? 8A．
? 8B．
? 4C．D．
? 2【答案】A 【解析】 【分析】
由三角函数的图象变换，求得函数y?sin?2x??????，求得增区间4???3????3???,?，进而根??k?,?k?,k?Z，令，可得函数的单调递增区间为k?0???8?88??8????y?sin2x?据函数??在区间??m,m?上无极值点，即可求解. 4??【详解】
由题意，将函数y?sin?2x?可得函数y?sin?2?x?令??????的图象向左平移个单位， 4?4??????????2?????sin2x????， 4?4?4????2k?,k?Z，解得?3???k??x??k?,k?Z 88?2?2k??2x????4?即函数y?sin?2x???4??的单调递增区间为????3???k?,?k??,k?Z，
8?8?令k?0，可得函数的单调递增区间为??又由函数y?sin?2x?【点睛】
?3???,?， 88??????4??在区间??m,m?上无极值点，则m的最大值为
?，故选A. 8本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.
???y?cos2x?y?cos|2x|y?|cosx|20．在函数：①；②；③??；
6??④y?tan?2x?A．①②③ 【答案】A 【解析】
逐一考查所给的函数：
?????中，最小正周期为?的所有函数为（ ） 4?B．①③④
C．②④
D．①③
y?cos2x?cos2x ，该函数为偶函数，周期T?2??? ； 2将函数y?cosx 图象x轴下方的图象向上翻折即可得到y?cosx 的图象，该函数的周期为
1?2??? ； 2函数y?cos?2x?函数y?tan?2x?????2??的最小正周期为T?2?? ； 6??????的最小正周期为T?? ； 4?22??综上可得最小正周期为?的所有函数为①②③. 本题选择A选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
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