1?c?jd，则利用旋转因子关于y轴以及直线y?x的对称性质，令W1635756W16?d?jc，W16??d?jc，W16??c?jd，其中c?cos??/?8*2?237，
d?sin??/8?*256?98，则有
??x1r?jx1i?*?c?jd???x1r?c?x1i?d??j?x1i?c?x1r?d????x7r?jx7i?*??c?jd????x7r?c?x7i?d??j??x7i?c?x7r?d? （3-2） ???x3r?jx3i?*?d?jc????x3i?c?x3r?d??j?x3r?c?x3i?d??x5r?jx5i*?d?jc??x5i?c?x5r?d?jx5r?c?x5i?d?????????由上式可以看出，等式右侧均为
??x1???x1??x1???x1??????????????x7x7x7????c????d??j????c??x7??d? （3-3） ??x3???x3??x3???x3??????????????x5x5x5???????x5?????????因此与N=8点的IFFT相同，将乘法器时分复用，经过串并变换，将4路串为1路，这样在流程图的蝶形单元中采仅需要5个实数乘法器（实现式（3-3）
26需要4个实数乘法器，W16与W16还需要额外的1个实数乘法器来实现），在流
程图的两个N/2点（4点）的IFFT中还需要2个实数乘法器。这样按照时分复用的方法完成一个16点的IFFT运算总共需要7个实数乘法器即可。
4. IFFT处理器的FPGA加载实验结果
本文在ALTERA Cyclone Ⅱ系列的EP2C70F896C6芯片上实现了16点的IFFT处理器，在8个时钟周期内，仅使用7个实数乘法器即可。另外由式(3-3)可已看出，本设计可以进行进一步的优化，将实部和虚部中所有乘数为c(或者d)的数据，经过串并变换，将8路串为1路，这样又可以减少实数乘法器的使用个数，仅使用5个实数乘法器。
同时为了避免浮点乘法运算将旋转因子扩大256倍后将最终结果输出右移8位，若乘法器的输入为9bit*8 bit，输出的结果为17 bit，为了进一步减少资源消耗，将乘法输出只取高12位，并将最终的结果右移3位输出。
N=8时，
（a）传统算法 （b）改进后算法
图6 N=8时的编译结果中资源占用情况
由图6可以看出，将乘法器输出只取高12位后，LE节省了19%。
图7 IFFT输出结果仿真图
由图7可知，N=8时，IFFT的输出结果与matlab的仿真结果完全相同。 N=16时，
图8 N=16时IFFT输出结果仿真图
由图8将输入与输出结果导出，并与matlab计算结果相比较，可得到下表，
表1 FPGA输出结果与MATLAB计算结果比较 输入A FPGA输出B Matlab计算结果C -3-2i -4+5i -4.0000+5.0000i 2+1i 4-7i 3.7993-4.9242i -1+0i -3+1i -2.1716+1.8995i 0-3i 3+4i 4.1157+4.9361i 1+2i -6-11i -6.0000-11.0000i -3-1i -8+0i -8.0703-0.0269i 3+1i -8-4i -7.5858-4.0000i -2+2i -8-2i -7.9634-1.7014i 0-2i 2-1i 2.0000-1.0000i -2+3i -20+10i -19.4562+9.4095i -1+1i -8-18i -7.8284-17.8995i 2-1i 4+7i 5.1981+7.5492i 3+0i 12-1i 12.0000-1.0000i -1+3i 3-13i 3.7272-12.4584i -3+2i -11-4i -10.4142-4.0000i 1-1i -6-3i -5.3503-2.7838i 由??B?CC22可以计算出16点平均相对误差约0.68%。
由本文算法可进一步推广到32,64,128,256,..…等多点IFFT的实现，根据旋
转因子关于y轴和y=x的对称性，使用两个实数乘法器可分时共享即可完成4个复数旋转因子的计算，因此占用乘法器数量仅为传统算法的1/8左右，可以大大节省资源占用情况，减少整个系统的资金投入。
参考文献
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