圆锥曲线和射影几何

圆锥曲线与射影几何

射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。

例1：设点A(-1,0),B(1,0),C(2,0), D在双曲线x2?y2?1的左支上，D?A,直线

CD交双曲线x2?y2?1的右支于点E。求证：直线AD与直线BE的交点P在直

线x?1上。 2如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。

我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：

有一点

A在一条双曲线内部，过A引两条直线与双曲线分别交于B,C,D,E。连

BD，CE交于点P，且P点在四边形BCDE外部。

又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连

BE，CD交于点Q，连PQ，先证明：直线PQ是A点的极线。

PBHGDFCOAEQ

NPBMOAEDCQ证明： 对

C于C'重合，B于B'重合的六边形DCC'EBB'用帕斯卡定理得：

DC于EB的交点Q,CC'于BB'的交点M,C'E于DB'的交点P三点共线,

同理所以

P，Q，N三点共线

P，Q，M，N四点共线。

BC是M的极线，DE是N的极线，所以MN是BC与DE 的交点A又因为

的极线，即

PQ是A的极线。

OA?PQ，且FAGH为调与点列。

回到原图，由极线的定义与性质得

有了前面的铺垫再证例1就简单了。 证明： 过

P点作PH?X轴，则PH是C点的极线，AHBC为调与点列 A(-1,0), B(1,0), C(2,0)

因为

1所以H（,0）

2即

P在直线x?1上

2关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。 例2：

M是抛物线y2?2px(p?0)的准线上的任意点，过M点作抛物线的切线

AB过定点。

l1,l2，切点分别为A,B(A在X轴的上方)。

（1） 求证：直线（2） 过

M作X轴的平行线l与抛物线交于P，与AB交于Q.

证明

MP?PQ。

l1AMPQlQl2

证明：

（1）同例一，我们很容易得到在准线上再取一点所以

AB是M的极线。

N，过N点作抛物线的切线l3,l4，切点为C,D,CD为N的极线

AB，CD的交点E的极线为MN AB过定点E

即直线

（2）易得因为所以

M，P，Q，以及l与抛物线另一端的交点M?为调与点列。

M?是无穷远点

MP?PQ，证毕。

仿射几何是射影几何的“子几何”，相对与射影几何，仿射几何有着更为丰富的性质。

2y例3：已知椭圆?2?1，求这个椭圆内接三角形的面积的最大值。 2abx2对于例3，因为面积不是射影不变量，所以我们不能单单用射影变换来解题。我们可以对变

换的条件加以限制，使之变成仿射变换，欧式平面上两个几何图形的面积比是仿射不变量。

(x,y)变成(x',y')，其中

ay' x?x，y'? b'''那么椭圆变成圆，?PQM变为?PQM，如图： 证明：我们把平面直角坐标系中的每一个点

32P'B(b,0)1PA(a,0)2246810M1QM'2Q'34 5