显然,当
?P'Q'M'为正三角形时,面积最大。
此时
332S?P'Q'M'?a
4S?PQMb? 根据仿射变换的性质,
S?P'Q'M'a33ab 所以S?PQM?42y21x例4:作斜率为的直线l与椭圆C:??1交于A,B两点,且P(32,2)3643在直线的左上方。求证:
?PAB的内切圆圆心在一条定直线上。
证明:由于关于椭圆的计算比较烦杂,我们仍对椭圆作仿射变换。
(x,y)变成(x',y'),其中 '' x?x,y?3y 我们把平面直角坐标系中的每一个点
86P4DBE2CH5101520O524A68 10
猜想这条定直线平行于作
Y轴
PH垂直于X轴,与AB交点为C,过P点作X轴的平行线与AB交于D。
?CPD?90?,则ACBD为调与点列
ACBD为调与点列:
若猜想成立,由于现在证明
设
C(32,a),易得D(62?a,32),yOC?a32x
3236??x? 过过D点作DE?OC,垂足为E,yDEaa将两条直线方程联立,解出
E的横坐标为1082 218?a)2?1082 )?363218?a2a所以
OC?OE?(32)2?a2?(1?(所以由于所以
D的极线过C点,即ACBD为调与点列 ?CPD?90?,则?APC??CPB
?PAB的内切圆圆心在PC上
其实,类似的题目还有很多,这里不再叙述。学几何,我们不能局限于解析几何,有时可以跳出来,从几何的本质入手,这样跟有利于我们学习数学。
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