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PA2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－2
m＝
x2
m2－1?m2
?x－2?2－2＋5(－m≤x≤m)， ?m－1?m－1
m2－1m2
＞0，
2m2?4m2
∵当x＝m时，PA取最小值，且2m2
∴
m2－1
≥m且m＞1，
2.
解得1＜m≤1＋
?1?3，?，焦点为F1(－3，7．(2018·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点?
2??
0)，F2(
3，0)，圆O的直径为F1F2.
(1)求椭圆C及圆O的方程；
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； 2
②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为解 (1)因为椭圆C的焦点为F1(－可设椭圆C的方程为2＋3，0)，F2(67
，求直线l的方程．
3，0)，
x2y2b2
a＝1(a＞b＞0)．
?1?
又点?3，?在椭圆C上，
2??
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31??a＋4b＝1，所以???a－b＝3，
22
22
??a2＝4，
解得?
2??b＝1.
因此，椭圆C的方程为＋y2＝1. 4
因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2＋y2＝3. (2)①设直线l与圆O相切于点P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，
2则x20＋y0＝3，
x2
所以直线l的方程为y＝－(x－x0)＋y0，
x0
y0
即y＝－x＋. x03
y0y0
??4＋y＝1，
由?x3
y＝－x＋，?yy?
200
0
x2
消去y，得
222(4x20＋y0)x－24x0x＋36－4y0＝0.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
22所以Δ＝(－24x0)2－4(4x20＋y0)·(36－4y0) 2(x2－2)＝0. ＝48y00
因为x0＞0，y0＞0， 所以x0＝
2，y0＝1.
2，1)． 6
，
因此，点P的坐标为(
2
②因为△OAB的面积为
7
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12642所以AB·OP＝，从而AB＝.
277设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2?x2－2?24x0± 48y00
由(*)得x1,2＝， 22?4x20＋y0?
所以AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
2?x20?48y20?x0－2?＝?1＋2?·. 2＋y2?2y?4x000??2因为x20＋y0＝3，
所以AB2＝
16?x20－2?32
2＝，即2x40－45x0＋100＝0， 22?x0＋1?49
解得x20＝
51
22(x0＝20舍去)，则y0＝， 22
2代入Δ＝48y20(x0－2)＞0，满足题意，
?102???.
因此点P的坐标为，?22???
所以直线l的方程为y＝－
5x＋3
2，即5x＋y－3
2＝0.
B组 能力提高
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋2＝1经过点(b,2e)，其
8b中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在
x2y2
x轴下方)．
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(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求
→
2→
AT·BTMN2
的值；
(3)记直线l与y轴的交点为P.若AP＝TB，求直线l的斜率k.
5解 (1)因为椭圆＋2＝1经过点(b,2e)，
8b所以x2y2
b24e2
8＋
b2
＝1.
因为e2＝2＝，所以＋2＝1.
a882b因为a2＝b2＋c2，所以
c2c2b2c2
b28－b2
8＋2b2
＝1.
整理得 b4－12b2＋32＝0， 解得b2＝4或b2＝8(舍) .
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
84(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为T(1,0)，所以直线l的方程为y＝k(x－1)．
x2y2
y＝k?x－1?，??
联立直线l与椭圆方程得?xy＋＝1，??84
2
2
消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
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4k2±所以x1,2＝
16k4－4?2k2＋1??2k2－8?
，
2?2k2＋1?
??x＋x＝2k＋1，所以?2k－8
??xx＝2k＋1.1
2
22
12
2
4k2
因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，
y＝kx，
??
联立直线MN与椭圆方程得?xy＋＝1，?8?4
2
2
.
消去y，得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝
.
2k2＋1
8
因为MN∥l，所以
AT·BT?1－x1?·?x2－1?MN2
＝?xM－xN?2
因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝
，
2k2＋1
)2＝4x2＝
，
2k2＋1
32
7
(xM－xN所以AT·BT?1－x1?·?x2－1?MN2
7
＝?xM－xN?2
2k2＋17
＝2·＝. 2k＋13232(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0， 则y＝－k，所以P(0，－k)，
→→
从而AP＝(－x1，－k－y1)，TB＝(x2－1，y2)．
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