专升本高等数学公式
一、求极限方法：
1、当x 趋于常数x0时的极限：
ax?b当cx0?d?0ax0?b； lim(ax?bx?c)?ax0?bx0?c；lim???????x?x0cx?dcx?dx?x0022ax?b当cx0?d?0,但ax0?b?0lim?????????????； x?x0cx?dax2?bx?f当cx2?dx?e?0,且ax2?bx?f?0lim???????????????可以约去公因式后再求解。2x?x0cx?dx?e2、当x 趋于常数?时的极限：
axn?bxn?1?????f只须比较分子、分母的最高次幂若n?m,则??。lim????????????????{
mm?1若n f(x)当x??时，f(x)与g(x)都?0或?f?(x)；对x?也同样成lim????????????????lim0?x??g(x)x??g(x)立。而且，只要满足条件，洛必达发则可以多次使用。 二、求导公式： 11、c??0；2、(xn)??nxn?1；3、(ax)??axlnx；4、(ex)??ex；5、(logx)?? axlna16、(lnx)??；7、(sinx)??cosx；8、(cosx)???sinx；9、(tanx)??sec2x x10、(cotx)???csc2x；11、(secx)??secxtanx；12、(cscx)???cscxcotx 13、(arcsinx)??16、(arccotx)???20、(arshx)??11?x2；14、(arccosx)???11?x2；15、(arctanx)??1；1?x2117、(shx)??chx；18、(chx)??shx；19、(thx)??ch?2x；2；1?x11?x2；21、(archx)??1x2?1；22、(arthx)??12； 1?x三、求导法则：(以下的5、7、8三点供高等数学本科的学员参阅) 1、(u(x)?v(x))??u?(x)?v?(x)；2、(kv(x))??kv?(x)； 3、(u(x)?v(x))??v(x)u?(x)?v?(x)u(x)；4、(u(x)u?(x)v(x)?v?(x)u(x) )??2v(x)v(x)4、复合函数y?f[?（x）]的求导：f?[?（x）]=f?(u)u?(x),其中u=?(x)。 nk(n?k)(k)5、莱布尼茨公式：(uv)=?cnuv。 k?0(n)6、隐函数求导规则：等式两边同时对x求导，遇到含有y的项，先对y求导，再乘以y对x的导数，得到一个关于y?的方程，求出y?即可。 f?(t)f?(t)()?2???dyf(t)dyg(t)g(t)x?g(t)7、参数方程{的求导：；2?，高阶导数依??y?f(t)dx?dxg(t)dxdxdtd次类推，分母总是多一个 dx，这一点和显函数的求导不一样，要注意！ dt四、导数应用： 1、单调性的判定：导数大于零，递增；导数小于零，递减。 2、求极值的步骤： 方法一：求导、求驻点及使导数不存在的点、划分区间画图表判断、代入求值。 方法二：求导、求驻点及使导数不存在的点、判断二阶导在上述点的值的符号，二阶导小于零，有极大值，二阶导大于零，有极小值。 4、求最值的步骤： 求导、求驻点及使导数不存在的点、求出上述点处的函数值并进行比较、最大的即是最大值，最小的是最小值。 5、凸凹的判定：二阶导大于零则为凹；二阶导小于零则是凸。 6、图形描绘步骤： 确定定义域、与x 轴的交点及图形的对称性；求出一阶导、二阶导及各自的根；划分区间列表判断以确定单调性、极值、凸凹及拐点；确定水平及铅直渐近线；根据上述资料描画图形。 五、积分公式： 1、?kdx?kx?c；2、?x?dx?5、?axdx?11x??1?c；3、?dx?lnx?c；4、?exdx?ex?c； x(??1)1xa?c；6、?cosxdx?sinx?c7、?sinxdx??cosx?c； lna8、?tanxdx??ln|cosx|?c；9、?cotxdx?ln|sinx|?c；10、?cscxcotxdx??cscx?c 11、?secxtanxdx?secx?c；12、?sec2xdx?tanx?c；13、?csc2xdx??cotx?c； 14、?shxdx?chx?c；15、?chxdx?shx?c；16、secxdx?ln|secx?tanx|?c； ?17、cscxdx?ln|cscx?cotx|?c；18、?19、??1dx?arctanx?c； x2?111?x2dx?arcsinx?c；20、?11xdx?arctan?c,(a?0)； a2?x2aa21、 11a?x1xdx?ln||?c,(a?0)；22、dx?arcsin?c； ??a2?x2222aa?xaa?x2223、?arcsinxdx?xarcsinx?1?x?c；24、?arccosxdx?xarccosx?1?x?c； 2225、?arctanxdx?xarctanx?ln1?x?c；26、?arccotxdx?xarccotx?ln1?x?c； 27、?udv?uv??vdu； 六、定积分性质： 1、3、6、 ?babkf(x)dx?k?f(x)dx；2、?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx aaaacbbbf(x)dx??af(x)dx； f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx；4、?dx?b?a；5、?a?bacabbbb?ab?af(x)dx?f(?)(b?a),??(a,b)； 7、?udv?uv??vdu； x是偶函数???????0a8、(?f(t)dt)??f(x)；9、??af(x)dx?{； ax是奇函数af(x)dx???????2?0xbudv?(uv)|?bvdu；10、?aa?ab??f(x)dx?limbf(x)dx； 11、?a?ab?????f(x)dx?limcf(x)dx?limbf(x)dx； 12、????a?ca???b???七、多元函数 1、N维空间中两点之间的距离公式：p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距离 PQ?(x1?y1)2?(x2?y2)2?...?(xn?yn)2 2、多元函数z?f(x,y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。比 如， ?z表示对x求偏导，计算时把y 当作常量，只对x求导就可以了。 ?x?2z?2z3、高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即。 ??x?y?y?x4、多元函数z?f(x,y)的全微分公式： dz??z?zdx?dy。 ?x?ydz?zdu?zdv??。 dt?udt?vdt5、复合函数z?f(u,v),u??(t),v??(t)，其导数公式： ?FXdy?,Fy?分别表示对x,y求偏导数。 6、隐函数F(x,y)=0的求导公式： ??，其中Fx?dXFy7、求多元函数z=f(x , y)极值步骤： 第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值 第二步：求出fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C 第三步：判断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A小于零是极大值，当A大于零是极小值；若AC-B2小于零则无极值；若AC-B2等于零则无法判断 8、双重积分的性质： （1）（2）(3) ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d? DD??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d? DDDDD1D2??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d? (4)若f(x,y)?g(x,y)，则（5） ??f(x,y)d????g(x,y)d? DD??d??s，其中s为积分区域D的面积 D（6）m?f(x,y)?M，则ms?（7）积分中值定理： ??f(x,y)d??Ms D??f(x,y)d??sf(?,?)，其中(?,?)是区域D中的点 DdP2(y)11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y，后对x的积分或先对x，后对y的积分形式） bP2(x)??f(x,y)d???dx?DaP1(x)f(x,y)dy??dycP1(y)?f(x,y)dx，有的积分可以随意选择积分次序， 但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定 12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法 八、排列组合及概率公示 1、排列数公式： Pnm?n(n?1)(n?2)???(n?m?1)。当m＝n时称作 全排列，且其排列总数的计算公式是n(n?1)(n?2)???1，简记作n!。 2、组合公式：CnmPnmn(n?1)(n?2)???(n?m?1)。 ?m?Pmm!特殊的，记Cnn?1。另有Cnm?Cnn?m，故记Cn0?1。 3、互斥事件：不能同时发生的事件。互斥事件A、B中有一个发生的事件记作 A+B，其概率等于事件A、B概率之和，即P（A+B）＝P（A）+P（B）。 相互独立事件：有A，B两个结果，且A事件的发生与否与B事件是否发生没有关系。两个事件同时发生记作AB，其概率是p(AB)?p(A)p(B)。 相互独立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是相互独立事件。 4、n次独立重复试验：设A事件发生的概率是p，则n次试验中A事件发生了k次的概率是p(A)?Cnkpk(1?p)n?k。
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