圆的第二定义——阿波罗尼斯圆
一、问题背景
苏教版《数学必修2》P112第12题：
1
已知点M(x，y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？
2画出满足条件的点M所构成的曲线． 二、阿波罗尼斯圆
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点A，B为两定点，动点P满足PA＝λPB.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证：设AB＝2m(m＞0)，PA＝λPB，以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－m,0)，B(m,0)．
又设P(x，y)，则由PA＝λPB得?x＋m?＋y＝λ?x－m?＋y，
两边平方并化简整理得(λ－1)x－2m(λ＋1)x＋(λ－1)y＝m(1－λ)． 当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
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?λ＋1?224λm，轨迹为以点?λ2＋1m，0?为圆心，?2λm?为半
当λ＞1时，?x－2m?＋y＝22????2
?λ－1??λ－1??λ－1??λ－1?
径的圆．
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理． 三、阿波罗尼斯圆的性质
1．满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB和外分AB所得的两个分点．
2222
2．直线CM平分∠ACB，直线CN平分∠ACB的外角．
1
3.＝. 4．CM⊥CN.
AMANBMBN
5．当λ＞1时，点B在圆O内； 当0＜λ＜1时，点A在圆O内．
6．若AC，AD是切线，则CD与AO的交点即为B.
7．若过点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF. 四、范例欣赏
例1 设A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹． 解 设动点P的坐标为(x，y)，
22
PA?x＋c?＋y由＝a(a＞0)，得＝a. 22
PB?x－c?＋y化简得(1－a)x＋2c(1＋a)x＋c(1－a)＋(1－a)y＝0.
2
2c?1＋a??1＋a??2ac?当a≠1时，得x＋x＋c2＋y2＝0，整理得?x－2c?2＋y2＝?2?2. 2
1－a?a－1??a－1?
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2222222
当a＝1时，化简得x＝0.
?a＋1?所以当a≠1时，P点的轨迹是以?2c，0?为圆心，
?a－1?
ac??2
?a2－1?为半径的圆； ??
当a＝1时，P点的轨迹为y轴．
例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，
2
N分别为切点)，使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
2
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则O1(－2,0)，O2(2,0)，
由已知PM＝2PN，得PM＝2PN， 因为两圆的半径均为1， 所以PO1－1＝2(PO2－1)，
设P(x，y)，则(x＋2)＋y－1＝2[(x－2)＋y－1]． 即(x－6)＋y＝33，
所以所求轨迹方程为(x－6)＋y＝33.
例3 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
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(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
??y＝x－1，
解 (1)联立?
?y＝2x－4，?
得圆心为C(3,2)．
切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3.
d＝|3k＋3－2|
＝r＝1， 2
1＋k3
得k＝0或k＝－.
4
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)设点M(x，y)，由MA＝2MO，知
x2＋?y－3?2＝2x2＋y2，
化简得x＋(y＋1)＝4.
即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D. 又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．
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2
3
故1≤CD≤3，其中CD＝a＋?2a－3?. 12
解得0≤a≤. 5
例4 在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x＋y＝4上任意一点到A，B两点的1
距离之比为常数？如果存在，求出点A，B坐标；如果不存在，请说明理由．
2
解 假设在x轴正半轴上存在两个定点A，B，使得圆x＋y＝4上任意一点到A，B两点的距1
离之比为常数，设P(x，y)，A(x1,0)，B(x2,0)，其中x2＞x1＞0.
2即
?x－x1?＋y122＝对满足x＋y＝4的任何实数对(x，y)恒成立， 22
?x－x2?＋y2
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22
整理得，2x(4x1－x2)＋x2－4x1＝3(x＋y)，将x＋y＝4代入得， 2x(4x1－x2)＋x2－4x1＝12，这个式子对任意x∈[－2,2]恒成立，
??4x1－x2＝0，
所以一定有?22
?x2－4x1＝12，?
2
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因为x2＞x1＞0，
所以解得x1＝1，x2＝4.
所以在x轴正半轴上存在两个定点A(1,0)，B(4,0)，使得圆x＋y＝4上任意一点到A，B两1
点的距离之比为常数.
2五、跟踪演练
1．满足条件AB＝2，AC＝2BC的△ABC的面积的最大值是________． 答案 22
解析 以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，
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y)，
由AC＝2BC，得?x＋1?＋y＝2·?x－1?＋y. 平方化简整理得y＝－x＋6x－1＝－(x－3)＋8≤8. ∴|y|≤22，则
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S△ABC＝×2|y|≤22，∴S△ABC的最大值是22.
2．在△ABC中，边BC的中点为D，若AB＝2，BC＝2AD，则△ABC的面积的最大值是________． 答案 42
解析 以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)， 由BD＝CD，BC＝2AD知，AD＝2BD，D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为(x－3)＋y＝8，设
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1
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C(x，y)，
4
得D?
?x＋1，y?，所以点C的轨迹方程为?x＋1－3?2＋?y?2＝8，即(x－5)2＋y2＝32.
??2??2?2??2????
1
所以S△ABC＝×2|y|＝|y|≤32＝42，故S△ABC的最大值是42.
2
3．在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得PA＝2PB，PC＝PD，则实数a的取值范围是________． 答案 [－22－1,22－1]
解析 设P(x，y)，则?x－1?＋y＝2·?x－3?＋y，
整理得(x－5)＋y＝8，即动点P在以(5,0)为圆心，22为半径的圆上运动．
另一方面，由PC＝PD知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)＋y＝8有交点． 所以|a＋1|≤22，
故实数a的取值范围是[－22－1，22－1]．
4.如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于________．
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答案 4π
解析 因为AB＝2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x－3)＋y＝4(y≠0)． 设C(x，y)，由AC边的中点为D(2,0)，知A(4－x，－y)，所以C的轨迹方程为(4－x－3)＋(－y)＝4，即(x－1)＋y＝4(y≠0)，所求的面积为4π.
5．如图，已知平面α⊥平面β，A，B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，
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CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α上有一个动点P，使得∠APD＝∠BPC，求△PAB的面积的最大值．
解 ∵DA⊥α，PA?α， ∴DA⊥PA，
∴在Rt△PAD中，tan∠APD＝＝同理tan∠BPC＝＝
AD4
， APAPBC8
.
BPBP5
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