2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 高考提能 圆的第二定义——阿波罗斯圆学案

∵∠APD＝∠BPC， ∴BP＝2AP.

在平面α上以线段AB的中点为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(－3,0)，B(3,0)，

设P(x，y)，则有?x－3?＋y＝2?x＋3?＋y(y≠0)． 化简得(x＋5)＋y＝16， ∴y＝16－(x＋5)≤16. ∴|y|≤4.

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△PAB的面积为S△PAB＝|y|·AB＝3|y|≤12，当且仅当x＝－5，y＝±4时取得等号，则△PAB2的面积的最大值是12.

6．已知⊙O：x＋y＝1和点M(4,2)． (1)过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；

(2)求以点M为圆心，且被直线y＝2x－1截得的弦长为4的⊙M的方程；

(3)设P为(2)中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 解 (1)直线l的斜率存在， 设切线l方程为y－2＝k(x－4)， |4k－2|8±19易得2＝1，解得k＝.

15k＋18±19

∴切线l的方程为y－2＝(x－4)．

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(2)圆心到直线y＝2x－1的距离为5，设圆的半径为r，则r＝2＋(5)＝9， ∴⊙M的方程为(x－4)＋(y－2)＝9.

(3)假设存在这样的点R(a，b)，点P的坐标为(x，y)，相应的定值为λ. 根据题意可得PQ＝x＋y－1，

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2222PQPRx2＋y2－1

∴＝λ， 22

?x－a?＋?y－b?

即x＋y－1＝λ(x＋y－2ax－2by＋a＋b)．(*)

又点P在圆M上，∴(x－4)＋(y－2)＝9，即x＋y＝8x＋4y－11，代入(*)式得 8x＋4y－12＝λ[(8－2a)x＋(4－2b)y＋(a＋b－11)]， 若系数对应相等，则等式恒成立，

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λ?8－2a?＝8，??2

∴?λ?4－2b?＝4，??λ2?a2＋b2－11?＝－12，

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2110解得a＝2，b＝1，λ＝2或a＝，b＝，λ＝，

553

∴可以找到这样的定点R，使得为定值，如点R的坐标为(2,1)时，比值为2，点R的坐PQPR标为??2?5，15??10?

时，比值为3.

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