同角三角函数的基本关系教案 

同角三角函数的基本关系

东宁县绥阳中学

教学目的：

知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关

系式及它们之间的联系；

2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函

数值的方法。 能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用

于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程： 一、复习引入：

1．任意角的三角函数定义：

设角?是一个任意角，?终边上任意一点P(x,y)，它与原点的距离为

r(r?|x|2?|y|2?x2?y2?0)，那么：sin??yxy，cos??，tan??， rrx2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα的符号分别是怎样的？

3．背景：如果sinA?，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；

4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 二、讲解新课：

（一）同角三角函数的基本关系式：

35（板书课题：同角的三角函数的基本关系） 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

（1）商数关系：tan??sin? （2）平方关系：sin2??con2??1 con?说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24??cos24??1等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如

tan??cot??1(??k?,k?Z)； 2③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、

变形用），如：

cos???1?sin2?， sin2??1?cos2?， cos??sin?等。 tan?2．例题分析： 一、求值问题 例1．（1）已知sin??4512，并且?是第二象限角，求cos?,tan?,cot?． 13（2）已知cos???，求sin?,tan?．

22125解：（1）∵sin??cos??1， ∴cos2??1?sin2??1?()2?()2

1313又∵?是第二象限角， ∴cos??0，即有cos???tan??sin?1215??cot????cos?5， tan?12

5，从而 13（2）∵sin2??cos2??1， ∴sin2??1?cos2??1?(?)2?()2， 又∵cos????0， ∴?在第二或三象限角。

sin?3??； cos?43sin?3当?在第四象限时，即有sin??0，从而sin???，tan???．

5cos?4453545当?在第二象限时，即有sin??0，从而sin??，tan??35总结：

1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。 例2．已知tan?为非零实数，用tan?表示sin?,cos?．

解：∵sin2??cos2??1，tan??sin?， cos?1， 21?tan?∴(cos??tan?)2?cos2??cos2?(1?tan2?)?1，即有cos2??又∵tan?为非零实数，∴?为象限角。

当?在第一、四象限时，即有cos??0，从而

11?tan2?cos???，

1?tan2?1?tan2?tan?1?tan2? sin??tan??cos??；

1?tan2?当?在第二、三象限时，即有co，从而??s11?tan2?cos?????， 221?tan?1?tan?tan?1?tan2? sin??tan??cos???．

1?tan2?sin??4cos?22例3、已知sin??2cos?，求 ⑵2sin??2sin?cos??cos?．5sin??2cos?

解：?sin??2cos???tan??2

sin??4cos?tan??4?21????

5sin??2cos?5tan??2126 强调（指出）技巧：1? 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式

注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以cos?,将分子、分母转化为tan?的代数式； 2? “化1法”

可利用平方关系sin2??cos2??1，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为tan?的分式求值； 小结：化简三角函数式，化简的一般要求是： （1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低； （2）尽量使分母不含三角函数式； （3）根式内的三角函数式尽量开出来；

（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形， 二、化简

练习1．化简1?sin2440?． 解：原式

?1?sin2(360??80?)?1?sin280??cos280??cos80?．

练习2．化简 1?cos?1?cos?3?? (????)

1?cos?1?cos?2三、证明恒等式

cosx1?sinx． ?1?sinxcosx证法一：由题义知cosx?0，所以1?sinx?0,1?sinx?0．

cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)1?sinx∴左边=???右边．

(1?sinx)(1?sinx)cos2xcosx例4．求证：

∴原式成立．

证法二：由题义知cosx?0，所以1?sinx?0,1?sinx?0． 又∵(1?sinx)(1?sinx)?1?sin2x?cos2x?cosx?cosx，

cosx1?sinx． ?1?sinxcosx证法三：由题义知cosx?0，所以1?sinx?0,1?sinx?0．

∴

cosx1?sinxcosx?cosx?(1?sinx)(1?sinx)cos2x?1?sin2x??0， ??(1?sinx)cosx(1?sinx)cosx1?sinxcosxcosx1?sinx∴． ?1?sinxcosx总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；

（2）证明左右两边同等于同一个式子；

（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。 四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；

2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值； 五、课后作业：《习案》作业第 五 课时

参考资料

化简1?2sin40?cos40?．

解：原式?sin240??cos240??2sin40?cos40? ?(sin40??cos40?)2?|cos40??sin40?|?cos40??sin40?．

1 (0????)，求tan?及sin3??cos3?的值。512? 解：1? 由sin?cos???,0????,得：cos??0???(,?)

252497 由(sin??cos?)2?, 联立： 得：sin??cos??255思考1．已知sin??cos???14?sin??cos??sin????5??5?tan???4 ??733?sin??cos???cos????55??91 1254?2mm?32、已知sin?? 求tan?的值。 ,cos??,?是第四象限角，m?5m?54?2m2m?32解：∵sin2? + cos2? = 1 ∴()?()?1

m?5m?52? sin3??cos3??()3?(?)3?4535化简，整理得：m(m?8)?045?m1?0,m2?8

当m = 0时，sin??,cos???，(与?是第四象限角不合） 当m = 8时，sin???

12512,cos??，?tan??? 1313535