2020年广东省高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合
，
为虚数单位，
，则 ，则
的取值范围为
A. C.
2. 已知复数
B. D.
，若
A.
3.
B.
C. D.
周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为
尺 尺 尺 尺 A. B. C. D.
4. 在中，已知，，且AB边上的高为，则
A.
B.
C.
D.
，
5. 一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为
则该圆锥的体积为
A.
6. 已知函数
B.
C.
D.
上单调递减，
，则不等式
是定义在R上的奇函数，且在的解集为
A.
C. B. D.
7. 已知双曲线
垂足分别为A，若
A. B. 2
8. 已知四边形ABCD中，
且
，则
的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，，则该双曲线的离心率为
C. D.
，，，
，E在CB的延长线上，
A. 1
9.
B. 2
的展开式中，
的系数为
C.
D.
A. 120 B. 480 C. 240 D. 320
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10. 把函数
短到原来的点
的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩纵坐标不变得到函数
函数
的图象，关于
的说法有：；
函数
函数在
的图象关于上的最上的
对称；的图象的一条对称轴是
最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
E是AB的中点，11. 如图，在矩形ABCD中，已知，
将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥
的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体
积为
，则
A. 2
12. 已知函数
B.
C.
D. 4
有唯一零点，则a的取值范围为
，
，若函数
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
A. C. B. D.
13. 若x，y满足约束条件，则的最大值是______．
14. 已知，则______．
的有______对．
15. 从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是16. 如图，直线l过抛物线
交于C，D两点，若
的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆
，设直线l的斜率为k，则
______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列
和
满足
，且
，
，设
．
求数列的通项公式； 若是等比数列，且
，求数列的前n项和．
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18. 为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别
从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．
质量指标 频数 2 8 20 30 25 15 合计 100 请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．
优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．
非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 附： 其，中
．
用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望．
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19. 如图，四棱锥中，四边形ABCD是菱形，
且，设．
证明：平面ABCD； 若，，求二面角
，E是BC上一点，，
的余弦值．
20. 已知椭圆C：
圆C的离心率为
，且
的焦点为，
，
的面积为
．
，P是椭圆C上一点．若椭
求椭圆C的方程； 已知O是坐标原点，向量满足
，
过点N两点．的直线l与椭圆C交于M，若点
，求的最小值．
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21. 已知函数
若函数的极小值为若，证明：当
，其中e为自然对数的底数． ，求a的值； 时，成立．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为
立极坐标系，直线l的极坐标方程为
，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建
．
求直线l的直角坐标方程；
已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为若的最大值为6，求a的值．
23. 已知函数．
解不等式：；
若a，b，c均为正数，且
，证明：
，
．
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