2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷
一、选择题
⑴若四个互不相等的正实数a,b,c,d满足a2?012?c??a2012?d2012??20122012，
?b2012?c2012??b2012?d2012??2012，则?ab?2012??cd?2012的值为（）
?A??2012 ?B??2011 ?C?2012 ?D?2011
⑵一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1,2,3,4.摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）
?A?1135 ?B? ?C? ?D? 4288⑶如图，矩形纸片ABCD中，AB?3，AD?9，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF，则EF的长为（）
（A）3 （B）23 （C）10 （D）310 2
⑷在正就变形ABCDEFGHI中，若对角线AE?2,则AB?AC的值等于（）
35（D）
2 2⑸有n个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n的最小值等于 （ ） (A) 171 (B) 172 (C) 180 (D) 181
（A）3 （B）2 （C）
二、填空题
11??2，则x2?2的值为 ⑹若x?xx⑺若四条直线x?1,y??1,y?3,y?kx?3所围成的凸四边形的面积等于12，则k的值为__________.
⑻如图，半径为r的O沿折线ABCDE作无滑动的滚动，如果AB?BC?CD?DE?2?r，?ABC??CDE?150,?BCD?120，那么，O自点A至点E转动了__________周.
(9)如图，已知△ABC中，D为BC中点，E,F为AB边三等分点，AD分别交CE,CF于点M,N，则AM:MN:ND等于_______.
(10)若平面内有一正方形ABCD，M是该平面内任意点，则
三、解答题
⑾已知抛物线y=x2+mx+n经过点(2,-1)，且与x轴交于两点A(a,0) B(b,0)，若点P为该抛物线的顶点，求使△PAB面积最小时抛物线的解析式。
MA?MC的最小值为______.
MB?MD⑿如图，分别以边长1为的等边三角形ABC的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D、E、F，连接CF交C于点G，以点E为圆心，EG长为半径画弧，交边AB于点M，求AM的长。
⒀已知p与5p2-2同为质数，求p的值。
?x 2x-2>a? 答案及详解 1、 答案：A。可将a2012与b2012看做方程(x?c2012)(x?d2012)?2012的两个解，则 ?ab?2012??cd?2012化为x1x2??cd?2012，因为x1x2?c2012d2012?2012，所以原式??2012 2、 答案：D。可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足 1条件，概率为?1；若第一次抽出2号球，则第二次抽出2,3,4号球可满足要求，概率 41312为?；若第一次抽出3号球，则第二次抽出3,4号球可满足要求，概率为?；若444411第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为?；加和得到最后概 445率为 8?9，根据勾股定理得到3、 答案：C。因为BE?ED,AD?9，所以BE?AEAE2?AB2?BE2，得到AE?4,BE?5，易得BF?BE，过点E作EG?BF于G， GF?5?4?1，EF?EG2?FG2?10 4、 答案：B。如图，设O为正九边形ABCDEFGHI的中心，连结OE、OA，则?AOE?160， ??OEA?10，又易得?OED?70，??DEA?60，在AE上截取EP?ED连结 DP、PC，?PDC?140?60?80，??DPC??CAP??BAP??BAC?40， A ?A?B?D?AE?180?80?50，??CPA?70，又2?AC?AP??CAP?70，，又 5、 答案：B。对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项。报一项比赛的方 2?1?5种，每个人报名方式有9种，要求有20人相式有4种，报两项比赛的方式有C4同，可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可。所以应该为 n?19?9?1?172 122111)???2??4，6、 答案：?242。(x?展开后x??2?4，x??6，?x??2?8xxxx1?1??1??1?11??2?x??22x??x?x?x?即?x?，，?8????????242 ?2xxxx??x????x??2
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