2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（三）文科
数学试题
一、单选题
(★) 1. 若复数 满足，
A．
，则复数 的虚部为（）
B．
C．
D．
(★★) 2. 若集合
A．
， ，则 （）
B．
C．
D．
(★★) 3. 记等差数列
A．28
的前 项和为 .若 ， ，则 （）
B．31
C．38
D．41
(★★) 4. 已知
A．
， ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为（）
B．
C．
D．
(★) 5. 曲线
A．1
在 处的切线与直线 相互垂直，则 （）
B．
C．2
D．
(★★) 6. 我们将 称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双
曲线叫做黄金双曲线，则（）
A．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项 B．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项
C．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项 D．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项
(★★) 7. 运行如图所示的程序框图，若输入的 的值为3，输出的 的值为129，则判断框中可以填（）
A．
B．
C．
D．
(★★) 8. 高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形
在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设 函数，例如：
，
，用 .则函数
表示不超过 的最大整数，则
的值域为（）
称为高斯
A．{0，1}
B．
中心为 ，
C．
，现将
，直线
D．沿着对角线 和
翻折成
(★★★) 9. 如图，矩形
，记
，二面角 的平面角为 所成角为 ，则（）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
(★★★) 10. 已知函数
和一个极小值，则 的取值范围为（）
， .若函数 只有一个极大值
A．
B．
C．
D．
(★★★) 11. 已知定义域为 的奇函数
.则
满足
（）
，且当 时，
A．0
B．
C．
D．
(★★) 12. 已知椭圆
个点
，
的左、右焦点分别为
，
， ，顺次连接 上的四
外侧，则椭圆
， ， ，可以得到一个正方形，若 不落在正方形
的离心率的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
(★★) 13. 已知实数 ， 满足
，则
的最小值为______.
(★★) 14. 记数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ______.
(★★) 15. 为了调查学校高三年级800名学生对学校课程安排的满意程度，将这些学生编号为
1，2，3，…，800，从这些学生中利用系统抽样的方法随机抽取50人作出调查，若28号学生被抽到，则在[320，336）内，被抽到的学生为______号.
(★★★★) 16. 三棱锥
线段
，
的中点，直线
对棱相等，且
，则
， ， 、平面
，点 、平面
分别是、平面
平面 ，且 与平面
均有交线，若这些交线围成一个平面区域 的面积的最大值为 ______ .
三、解答题
(★★★) 17. 已知
（1）若 （2）若点
，求 是线段
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
的面积；
，求 的值.
上靠近 的三等分点，且
，
.
(★★) 18. 将某产品2014~2018的年投资金额 （万元）与年利润 （万元）统计如下表所示，通过散点图可知，可用线性回归模型拟合 与 的关系.
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年投资金额（万元）
3
5
7
9
11
年利润（万元）
1
11.5
13
14
16.5
（
1
）
求
关于 的线性回归方程 ；
（2）若2019年公司投资的金额为20万元，根据（1）中结果预测2019年的年利润.
(★★★) 19. 如图，在三棱锥
是线段
的中点，连接
，
中， .
， ， ， ，点
（1）求证： （2）若 （1）若 （2）若
，
；
，求三棱锥 与过点
的体积.
两点.
的直线 交于
(★★★) 20. 已知抛物线
，求直线 的方程； ，
轴，垂足为 ，探究：以
为直径的圆是否过定点？若是，求
出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
(★★★) 21. 已知函数
（1）讨论函数 （2）若函数
的单调性；
.
存在3个零点，求实数 的取值范围.
中，直线 的参数方程为
（ 为参数），以原点为
.
(★★★) 22. 平面直角坐标系
极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）写出曲线 的参数方程以及直线 的极坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于
，
两点，求
.
的解集；
的值.
(★★★) 23. 已知函数
（1）求不等式
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，求 的取值范围.
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