专题五 竖直面内圆周运动的临界问题
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变。物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。 （注意：绳对小球只能产生拉力） v
R v0
a
b 图6-11-1
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用
v2mg =m ? v临界=RRg Rg （2）小球能过最高点条件：v ≥（3）不能过最高点条件：v <
（当v >Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
Rg （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。） 杆 O
a b
图6-11-2
（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力）
（2）当0< v
Rg时，F=0
（4）当v >Rg时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力）
【目标达成】 题型：“绳模型”的应用
1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能 （ ）
A．是拉力
O
1
图6-11-5
B．是推力 C．等于零
D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零
2．绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量为m=0.5kg，绳长l=60cm，求：（1）最高点水不流出的最小速率？（2）水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力？
题型二：“杆模型” 的应用
3、（1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高
b 点，则杆对球的作用力可能是 （ ）
A．a处为拉力，b处为拉力 · O B．a处为拉力，b处为推力 C．a处为推力，b处为拉力 a 图6-11-6 D．a处为推力，b处为推力
4．如图6-11-8所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：
（1）小球在最高点A时速度vA为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？
（2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？ （3）如m = 0.5kg, L = 0.5m, vA= 0.4m/s, 则在最高点A和最低点B时, 杆对小球m的作用力各是多大? 是推力还是拉力?
O
【自我检测】
（轻绳模型、轻杆模型）
.o
图5—2甲 图5—2乙 图5—3甲 图5—3乙
2
A vA
图6-11-8
1． 如图5—2甲、乙 所示，没有支撑物的小球在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 1临界条件 ○
2能过最高点的条件 ，此时绳或轨道对球分别产生______________ ○
3不能过最高点的条件 ○
2． 如图5—3甲、乙所示，为有支撑物的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况 1能过最高点的条件 ，此时杆对球的作用力 ○
2当0 当v= gr时，杆对小球 当v>gr时，杆对小球的力为 其大小为____________ 3．长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v，则下列叙述正确的是 （ ） A．v的最小值为gL B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C．v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大 D．v由gL逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大 4．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ） A．0 B．mg C．3mg D．5mg 5．长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为v1和 v2，细线所受拉力分别为F1、F2，则 （ ） A．v1=5gL B．v2= 0 C． F1= 5mg D．F2= 0 【拓展】 物理最高点与几何最高点 如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动时，C为最高点，D为最低点，C点速度最小，D点速度最大。但是若加水平向右的电场E，小球带电量为十Q，则在A点速度最小，在B点速度最大，小球在A点时重力与电场力的合力指向圆心，小球在B点时，重力与电场力的合力沿半径向外，这与只有重力时C、D两点的特性相似．我们把A、B两点称为物理最高点和物理最低点，而把C、D两点称为几何最高点和几何最低点。 3 题型三：等效场问题 【例】如图所示，O点系一细线，线的另一端系一带电量为+Q，质量为m的带电小球，空间存在电场强度为 E的匀强电场，小球绕O点在竖直平面内恰好做圆周运动，则小球的最小速率为多大? 4
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