2013年高考数学二轮复习学案：专题2函数的性质及应用试题和解析(II)

2013年高考数学二轮复习学案：专题2函数的性质及应用试题 和解析（II）

高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中出现.在二轮复习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.,此外，函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点，也要引起足够的重视.

112n－1?*x＋?－1是R上的奇函数，an＝f(0)＋f??＋f??＋…＋f?1．已知函数F(x)＝f??2??n??n??n?＋f(1)(n∈N)，则数列{an}的通项an＝________.

1111

－x＋?－1＝－f?x＋?＋1，f?x＋?＋f?－x＋?＝2.[来源:学科解析：由题意知F(－x)＝－F(x)，即f?2?2???2??2??网]

1

令t＝x＋，则f(t)＋f(1－t)＝2.

2n－1n12

分别令t＝0，，，…，，，得

nnnn1??n－1?

f(0)＋f(1)＝f??n?＋f?n?＝…＝2.

1??2??n－1?＋f(1)， ∵an＝f(0)＋f?＋f＋…＋f?n??n??n?∴由倒序相加法得2an＝2(n＋1)，故an＝n＋1. 答案：n＋1

2．(2012·徐州期末)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题 ①当c＝0，y＝f(x)是奇函数；

②当b＝0，c<0时，方程f(x)＝0只有一个实数根； ③y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称； ④方程f(x)＝0至多有两个实数根． 其中命题正确的是________．

解析：当c＝0时f(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，①正确；当b＝0，c<0时由f(x)＝0得x|x|＋c＝0，只有一个正根，②正确；若P(x，y)是y＝f(x)图象上的任意一点，则f(－x)＝－x|x|－bx＋c＝2c－(x|x|＋bx＋c)＝2c－y，即P′(－x,2c－y)也在y＝f(x)的图象上，③正确；④不正确，如b＝－2，c＝0时，f(x)＝0有3个实数根．

答案：①②③

3．已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)．给出下列命题： ①f(x)必是偶函数；

②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x＝1对称； ③若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数； ④f(x)有最大值|a2－b|. 其中正确的序号是________．

解析：①显然是错的；②由于函数加了绝对值，所以对于一个函数值可能对应的x值有4个，故不一定得到对称轴是x＝1；由于a2－4≤0时，f(x)＝x2－2ax＋b，故③正确；④结合函数图象，可以判定函数无最大值．

答案：③

4．(2012·淮阴联考)给出下列四个结论：

①函数y＝k·3x(k为非零常数)的图象可由函数y＝3x的图象经过平移得到； ②不等式?

1ax－1??>a的解集为M，且2?M，则a的取值范围是??4，＋∞?； ?x?③定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)·f(x)＝－1，则f(x)是周期函数；

1??1?127

＋x＋f－x＝2成立，则f??＋f??＋…＋f??＝7. ④已知f(x)满足对x∈R都有f??2??2??8??8??8?其中正确结论的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：由|k|·3x＝3x＋log3|k|(k≠0)知①正确；由2?M得?

2a－1?1

≤a，即a≥，故②不正确；由f(x＋1)

4?2?1??1?11?1?＋f?2?＋…＋x＋f－x＝2得f(x)＋f(1－x)＝2且f??＝1，＝－得f(x＋2)＝f(x)，故③正确；由f?故f?2??2??2??8??8?f?x?7?＋f??8?＝7正确．

答案：①③④

11

5．给出定义：若m－

22m.

在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个命题： 1

0，?； ①函数y＝f(x)的定义域是R，值域是??2?k

②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称；

2③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期是1； 11

－，?上是增函数． ④函数y＝f(x)在??22?则其中真命题是________．

1111

解析：由m－＜x≤m＋解得－≤x－m≤，故命题①正确；由f(k－x)＝|k－x－{k－x}|＝|k－x－(k

2222

－{x})|＝|－x＋{x}|＝f(x)知②正确，④不正确；同理③正确．

答案：①②③

[典例1]

?2?1－x?，0≤x≤1，?

(2012·泰兴中学调研)设n为正整数，规定：fn(x)＝f{f[…f(x)]n个}f，已知f(x)＝?

?x－1， 1＜x≤2.?

(1)解不等式f(x)≤x；

(2)设集合A＝{0,1,2}，对任意x∈A，证明：f3(x)＝x； 8?(3)探求f2 012??9?；

(4)若集合B＝{x|f12(x)＝x，x∈[0,2]}，证明：B中至少包含有8个元素． [解] (1)①当0≤x≤1时，由2(1－x)≤x得， 22

x≥.∴≤x≤1. 33

②当1＜x≤2时，∵x－1≤x恒成立，∴1＜x≤2.

?2?

≤x≤2?. 由①，②得，f(x)≤x的解集为?x??3

?

?

(2)证明：∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1， ∴当x＝0时，

f3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0； 当x＝1时，

f3(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1； 当x＝2时，

f3(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.[来源:学科网ZXXK] 即对任意x∈A，恒有f3(x)＝x. 8??8??1－8?＝2， (3)f1?＝f＝2?9??9??9?98???8???2?14

f2??9?＝f?f?9??＝f?9?＝9， 8???8???14?145f3?＝ff＝f＝－1＝， 2

?9???9???9?998???8???5??5?8f4??9?＝f?f3?9??＝f?9?＝2?1－9?＝9. 8?8??*一般地，f4k＋r?＝f?9?r?9?(k∈N，r∈N)． 8?8?8?∴f2 012?＝f?9?4?9?＝9.