2.3.2 等比数列的通项公式(二)
[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法.
知识点一 推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn1，an＝am·qn
－
－m
(m、n∈N*，m≤n).
思考1 如何推导an＝amqn
－m?
答案 根据等比数列的通项公式， an＝a1qn1，
－
am＝a1qm1，
－
an－－∴＝qnm，∴an＝am·qnm. am
思考2 若已知等比数列{an}中，q＝3，a3＝3，则a7＝. 答案 243
解析 a7＝a3·q4＝3·34＝35＝243. 知识点二 等比数列的性质
1.如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al. 2.如果m＋n＝2k，则有am·an＝a2k. 3.若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列.
4.在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.
?1??bn?5.如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列?a?，{an·bn}，?a?，{|an|}
?n?
?n?
1q2仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
q1q1
6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝…. a3·a9
思考 等比数列{an}中，＝，a5·a11＝.
a5答案 a7 a28
解析 由等比数列的性质得a5·a11＝a28. a3·a9a3·a9＝a5·a7，∴＝a7.
a5
题型一 等比数列的性质及应用
例1 (1)在等比数列{an}中，若a3a6＝9，a2a4a5＝27，则a2的值为. 1
(2)已知公比为q的等比数列{an}中，a5＋a9＝q，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为.
21
答案 (1)3 (2)
4
解析 (1)因为{an}为等比数列，所以a3a6＝a4a5＝9， 又因为a2a4a5＝27，所以a2＝3. 11
(2)∵a5＋a9＝q，∴a4＋a8＝，
22∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a26＋a6a10 122
＝a24＋2a4a8＋a8＝a4＋a8＝. 4
()
反思与感悟 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.
a20跟踪训练1 (1)在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＝.
a10
(2)已知数列{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝. 32
答案 (1)或 (2)5
23解析 (1)a7·a11＝a4·a14＝6， 又a4＋a14＝5，
???a4＝2，?a4＝3，∴?或? ?a14＝3???a14＝2，
a1432∴q10＝＝或，
a423a201032＝q＝或. a1023
(2)由a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
22即a23＋2a3a5＋a5＝(a3＋a5)＝25，
∵an＞0，∴a3＋a5＞0， ∴a3＋a5＝5.
题型二 灵活设项求解等比数列
3
例2 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为.
21111
答案 8，－2，，－或－，，－2,8
2882解析 设此4个数为a，aq，aq2，aq3. 则a4q6＝1， 3
aq(1＋q)＝－，①
2
1
所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q＞0，代入①式化简可得q2－q＋1＝0，此方程无解；
4171
当a2q3＝－1时，q＜0，代入①式化简可得q2＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－.
441
当q＝－4时，a＝－；
81
当q＝－时，a＝8.
4
1111
所以这4个数为8，－2，，－或－，，－2,8.
2882反思与感悟 灵活设项求解等比数列的技巧 a
(1)三数成等比数列，一般可设为，a，aq；
q
aa
(2)四数成等比数列，一般可设为3，，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3，但前一种设法的公比
qq为q2(公比大于0)；
aa
(3)五数成等比数列，一般可设为2，，a，aq，aq2.
跟踪训练2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数. b
解 由题意设此四个数为，b，bq，a，
q
??
则有?2bq＝a＋b，
??abq＝－80，
2
b3＝－8，
??
解得?b＝－2，
??q＝－2
a＝10，
a＝－8，
??b＝－2，或?
5?q＝?2.
4
所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
5题型三 等比数列的实际应用
例3 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg2＝0.3，最后结果精确到整数). 2
解 设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a1＝，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2014
5年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.
依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以 43an＋1＝92%·an＋12%(1－an)＝an＋，
525343
即an＋1－＝(an－)，
5553231
a1－＝－＝－，
5555
3??14
∴?an－5?是以－为首项，为公比的等比数列，
55??314
∴an－＝(－)()n－1，
555314
∴an＝－()n－1，
555314?n
则an＋1＝－?，
55?5?314?n1
∵an＋1＞50%，∴－?＞，
55?5?2
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