2010年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2010?湖北）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数点是（ ）
的
A．E B．F C．G D．H
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题．
【分析】首先在图形上看出复数z的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点． 【解答】解：观察图形可知z=3+i，
∴，
即对应点H（2，﹣1）， 故选D．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查根据复数的代数形式，在坐标系中找出对应的点，根据复平面上的点写出对应的复数的表示式，本题是一个基础题．
2．（5分）（2010?湖北）设集合
的子集的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】交集及其运算；子集与真子集． 【专题】数形结合．
，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B
【分析】由题意集合
，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所
表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数． 【解答】解：∵集合
，
∴为椭圆和指数函数y=3x图象，
如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，
则A∩B的子集应为?，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种， 故选A．
【点评】此题利用数形结合的思想来求解，主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道不错的题． 3．（5分）（2010?湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ） A．﹣
B．
C．﹣ D．
【考点】正弦定理．
【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解． 【解答】解：根据正弦定理
，
解得
，
可得，
又∵b＜a，
∴B＜A，故B为锐角， ∴
，
故选D．
【点评】正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围． 4．（5分）（2010?湖北）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】计算题．
【分析】根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立
事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）、P（B），进而可得P（），由对立事件的概率计算，可得答案．
【解答】解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，
由古典概型的计算方法，可得P（A）=，P（B）=， 则P（
）=（1﹣）（1﹣）=
，
=
；
则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为1﹣
故选C．
【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）．
5．（5分）（2010?湖北）已知△ABC和点M满足
成立，则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】向量的加法及其几何意义．
．若存在实数m使得
【分析】解题时应注意到【解答】解：由则所以有
=
，则M为△ABC的重心．
知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点， =
，
，故m=3，
故选：B．
【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理． 6．（5分）（2010?湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ） A．26，16，8， B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9 【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．
【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．
【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人， 则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，
故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人． 故选B
【点评】本题主要考查系统抽样方法． 7．（5分）（2010?湖北）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设Sn为前n个圆的面积之和，则
Sn=（ ）
A．2πr2 B．πr2 C．4πr2 D．6πr2 【考点】极限及其运算． 【专题】计算题．
【分析】依题意可知，图形中内切圆面积依次为：由此可以求出则
Sn的值．
，
【解答】解：依题意分析可知，
图形中内切圆半径分别为：r，r?cos30°，（r?cos30°）cos30°，（r?cos30°，cos30°）cos30°， 即
则面积依次为：所以
，
，
．
故选C．
【点评】本题考查函数的极限，解题时要认真审题，仔细计算，避免出错． 8．（5分）（2010?湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A．152 B．126 C．90 D．54 【考点】排列、组合的实际应用． 【专题】计算题．
【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种； 2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种； 由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种， 故选B．
【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．
9．（5分）（2010?湖北）若直线y=x+b与曲线是（ ）
A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3] 【考点】函数与方程的综合运用． 【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．
有公共点，则b的取值范围
【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）， 即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图 依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，即
解得
或
，
因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3， 故
故选D．
，
【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．
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