选修4－4 坐标系与参数方程
1．极坐标系
(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做________，从O点引一条射线Ox，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．
设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝______，y＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程
θ＝α (ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； π
b，?且平行于极轴的直线； ρsin θ＝b表示过??2?ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程
ρ＝2rcos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆； π
r，?，半径为|r|的圆； ρ＝2rsin θ表示圆心在??2?ρ＝r表示圆心在极点，半径为|r|的圆． 3．曲线的参数方程
??x＝f?t?，
在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数?
?y＝g?t?.?
并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t称为________． 4．一些常见曲线的参数方程
(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t为参数)． (2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为________________________(θ为参数)． x2y2
(3)椭圆方程2＋2＝1(a>b>0)的参数方程为________________(θ为参数)．
ab(4)抛物线方程y2＝2px(p>0)的参数方程为________________(t为参数)．
π
1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
4
2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．
2
??x＝4t，
3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线?(t为参数)上，则PF＝________.
?y＝4t?
?，?x＝－1＋tsin 40°
4．直线?(t为参数)的倾斜角为________．
?y＝3＋tcos 40°?
??x＝3t，
5．已知曲线C的参数方程是?(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是2
?y＝2t＋1?
________．
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极π
坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．
3(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．
在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数
a的值．
题型二 参数方程与普通方程的互化
5??x＝4t2，?x＝5cos θ，例2 已知两曲线参数方程分别为?(0≤θ<π)和?(t∈R)，求它们的
?y＝sin θ??y＝t
交点坐标．
思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin2θ＋cos2θ＝1,1＋tan2θ＝等．
(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．
将下列参数方程化为普通方程．
1
cos2θ
??(1)?4－2t
y＝??1＋t
2t2x＝，1＋t222
(t为参数)；
2
??x＝2－4cosθ，(2)?(θ为参数)． 2
?y＝－1＋sinθ?
题型三 极坐标、参数方程的综合应用
例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲
?x＝－3＋23t，线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l的参数方程是?1
y＝?2t
分别为曲线C、直线l上的动点，求MN的最小值．
(t为参数)，M，N
思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．
(2013·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
π
θ－?＝22. 系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos??4?(1)求C1与C2交点的极坐标；
x＝t＋a，??
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为?b3
??y＝2t＋1(t∈R为参数)，求a，b的值．
3
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