（2）∵∠BAF=∠BDE=90°，∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ADB=∠ACB，∴∠F=∠FDE，∴DE=EF=3． ∵CE=2，∠BCD=90°，∴∠DCE=90°，∴CD?DE2?CE2?5．
∵∠BDE=90°，CD⊥BE，∴∠DCE=∠BDE=90°． ∵∠DEC=∠BED，∴△CDE∽△DBE，∴径?CDBD5?335?，∴BD?，∴⊙O的半?CEDE2235． 4
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE=EF是解答本题的关键．
10．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE （1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH， ①△CBH∽△OBC ②求OH＋HC的最大值
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5. 【解析】
分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；
（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；
BCHBBC2＝②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB=，由于BC=HC，所以OCBC4BC2OH+HC=4?+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
4详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90° ∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA， ∴∠OCA+∠OCB=90°， ∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CG是⊙O的切线； （2）①∵CB=CH， ∴∠CBH=∠CHB， ∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB， ∴△CBH∽△OBC
BCHB＝②由△CBH∽△OBC可知： OCBC∵AB=8，
∴BC2=HB?OC=4HB， BC2∴HB=，
4BC2∴OH=OB-HB=4- 4∵CB=CH，
BC2∴OH+HC=4?+BC，
4当∠BOC=90°，
此时BC=42 ∵∠BOC＜90°， ∴0＜BC＜42，
x2令BC=x则CH=x，BH=
4112?OH?HC??x2?x?4???x?2??5
44当x=2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．
11．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为?AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E． （1）当DC⊥AB时，则
DA?DB＝ ； DC（2）①当点D在?AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；
②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式； （3）当
DEPD92时，求的值． ?OAAC20
【答案】（1）2；（2）①DA+DB＝2DC，②S＝【解析】 【分析】
1212DE242t﹣m ；（3）. ?24OA35（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出
结果；
（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；
②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA?DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；
（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果． 【详解】
解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵C为?AB的中点，
?， ∴?AC?BC∴∠ADC＝∠BDC＝45°， ∵DC⊥AB，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°， ∴∠DAE＝∠DBE＝45°， ∴AE＝BE， ∴点E与点O重合， ∴DC为⊙O的直径， ∴DC＝AB，
在等腰直角三角形DAB中， DA＝DB＝2AB， 2∴DA+DB＝2AB＝2CD， ∴
DA?DB＝2； DC
（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，
?， 由（1）知?AC?BC∴AC＝BC， ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，
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