规律探索
一.选择题
1. （2019?山东省济宁市 ?3分）已知有理数a≠1，我们把
称为a的差倒数，如：2的差倒数是
＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3
的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（ ） A．﹣7.5
【考点】数字的变化
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案． 【解答】解：∵a1＝﹣2， ∴a2＝
＝，a3＝
＝，a4＝
＝﹣2，……
B．7.5
C．5.5
D．﹣5.5
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣， ∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣故选：A．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 2. （2019?广东深圳?3分）定义一种新运算：
m＝﹣7.5，
?abn?xn?1dx?an?bn，例如：?2?xdx?k2?h2，若
hk?5m?x?2dx??2，则m=（ ）
A. -2 B. ?【答案】B
22 C. 2 D. 55
【解析】
?m5m?x?2dx?m?1?(5m)?1?112???2，则m=?，故选B.
5m5m3.（2019，山东枣庄，3分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得． 【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10， 符合此要求的只有
故选：D．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．
4. （2019?湖北十堰?3分）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，
若第n个数为，则n＝（ ） A．50
B．60
C．62
D．71
【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n个数为时n的值，本题得意解决．
【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），
（，，，），…， ∴分母为
11
开头到分母为
1
的数有，
11
个，分别为
∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60， 故选：B．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
5. （2019?湖北武汉?3分）观察等式：2+2＝2﹣2；2+2+2＝2﹣2；2+2+2+2＝2﹣2…已知按一定规律排列的一组数：2、22…、22．若2＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ） A．2a﹣2a
2
50
51.52.
99.100
50
2
3
2
3
4
2
3
4
5
B．2a﹣2a﹣2
2
3
2
3
4
2
C．2a﹣a
2
3
4
5
2
D．2a+a
2
3
2
【分析】由等式：2+2＝2﹣2；2+2+2＝2﹣2；2+2+2+2＝2﹣2，得出规律：2+2+2+…+2＝2
50
51
52
99
100
2
3
100
2
3
49
nn+1
﹣2，那么2+2+2+…+2+2＝（2+2+2+…+2）﹣（2+2+2+…+2），将规律代入计算即可． 【解答】解：∵2+2＝2﹣2； 2+2+2＝2﹣2； 2+2+2+2＝2﹣2； …
∴2+2+2+…+2＝2﹣2， ∴2+2+2+…+2+2
＝（2+2+2+…+2）﹣（2+2+2+…+2） ＝（2﹣2）﹣（2﹣2） ＝2﹣2，
101
50101
50
2
3
100
2
3
49
50
51
52
99
100
2
3
2
3
4
5
2
3
4
2
3
nn+1
∵2＝a，
∴2＝（2）?2＝2a， ∴原式＝2a﹣a． 故选：C．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+2+2+…+2＝2﹣2． 二.填空题
1. （2019?江苏连云港?3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1.2.3.4.5.6.7.8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为 （2，4，2） ．
2
3
2
101
50
2
2
50
nn+1
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论． 【解答】解：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2）， 故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键． 2.（2019?浙江衢州?4分）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于
x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则 的值为________ .
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1 ， 摆放第三个“7”字图形得顶点F2 ， 依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1 ， …，则顶点F2019的坐标为________ . 【答案】 （1）
（2）（ ， ）
【考点】探索图形规律
【解析】（1）依题可得，CD=1，CB=2， ∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°， ∴∠BDC=∠OBA， 又∵∠DCB=∠BOA=90°， ∴△DCB∽△BOA， ∴
；
（ 2 ）根据题意标好字母，如图，
依题可得：
CD=1，CB=2，BA=1，
∴BD=
，
，
由（1）知
∴OB= ，OA= ，
易得：
△OAB∽△GFA∽△HCB，
∴BH= ，CH= ，AG= ，FG= ，
∴OH= + = ，OG= + = ，
∴C（ ， ），F（ ， ），
∴由点C到点F横坐标增加了 ，纵坐标增加了 ，
……
∴Fn的坐标为：（ + n， + n），
∴F2019的坐标为：（ + ×2019， + ×2019）=（ ，405 ），
故答案为： ，（ ，405 ）.
【分析】（1）根据题意可得CD=1，CB=2，由同角的余角相等得∠BDC=∠OBA，根据相似三角形判定得△DCB∽△BOA，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得CD=1，CB=2，
BA=1，在Rt△DCB中，由勾股定理求得
BD= ，由（1）知 ，从而可得OB= ，OA= ，结合题意易得：△OAB∽△GFA∽△HCB，根据相似三角形性质可得BH= ，CH= ，AG= ，FG= ，从而
可得
C（ ， ），F（ ， ），观察这两点坐标知由点C到点F横坐标增加了 ，
纵坐标增加了 ，依此可得出规律：Fn的坐标为：（ + n， + n），将n=2019
代入即可求得答案.
3. (2019甘肃省天水市)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有______个〇．
18.【答案】6058
【解析】
解：由图可得，
第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4， 第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7， 第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，
第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13， ……
∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇， 故答案为：6058．
根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数． 本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．
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4. (2019甘肃省陇南市)（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 13a+21b ．
【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案． 【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b， 故答案为：13a+21b．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．
5. （2019?甘肃武威?4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 13a+21b ．
【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案． 【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b， 故答案为：13a+21b．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．
6. （2019?广东?4分）如题16-1图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，
小明按题16-2图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（题16-1图）拼出来的图形的总长度是_____________________（结果用含A.b代数式表示）．
【答案】a+8b
【解析】每个接触部分的相扣长度为（a-b），则下方空余部分的长度为a-2（a-b）=2b-a，3个拼出来
的图形有1段空余长度，总长度=2a+（2b-a）=a+2b；5个拼出来的图形有2段空余长度，总长度=3a+2（2b-a）=a+4b；7个拼出来的图形有3段空余长度，总长度=4a+3（2b-a）=a+6b；9个拼出来的图形有4段空余长度，总长度=5a+4（2b-a）=a+8b. 【考点】规律探究题型
7. （2019?甘肃?3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝ 1010 ．
【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案． 【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2×2﹣1＝3个． 第3幅图中有2×3﹣1＝5个． 第4幅图中有2×4﹣1＝7个． …．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n幅图中共有（2n﹣1）个． 当图中有2019个菱形时， 2n﹣1＝2019，
n＝1010，
故答案为：1010．
【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．
8.（2019，山东枣庄，4分）观察下列各式：
＝1+
＝1+（1﹣），
＝1+＝1+（﹣），
＝1+＝1+（﹣），
…
请利用你发现的规律，计算：
+
+
+…+
，
其结果为 2018 ．
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可． 【解答】解：
+
+
+…+
＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）
＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝2018，
故答案为：2018．
【点评】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．
9.（2019，山东淄博，4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；
如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；
如图3，当CD＝AC时，tanα3＝……
依此类推，当CD＝
；
AC（n为正整数）时，tanαn＝ ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，
，
中的中间一个．
∴tanαn＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10.（2019?湖北黄石?3分）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是 625 ．
【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628， ∴第20行第19个数是：628﹣3＝625， 故答案为：625．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道
第n个数可以表示为1+3（n﹣1）．
11.（2019?贵州黔东?3分）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案与第1个至第4个中的第 3 个箭头方向相同（填序号）．
【分析】根据图形可以看出4个图形一循环，然后再2019÷4＝504…3，从而确定是第3个图形． 【解答】解：2019÷4＝504…3，
故第2019个图案中的指针指向与第3个图案相同， 故答案为：3
【点评】主要考查了图形的变化类，学生通过特例分析从而归纳总结出规律是解决问题的关键． 12. （2019?湖南怀化?4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 n﹣1 ．
【分析】由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1．
【解答】解：由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1， 故答案为n﹣1．
【点评】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13. （2019?山东省滨州市 ?5分）观察下列一组数：
a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝ （用含n的式子表示）
【考点】数字的变化类
【分析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2+1；观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为
，即可求解；
nn【解答】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2+1， 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为
，
∴an＝＝；
故答案为；
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
14. （2019?山东省聊城市?3分）数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…．，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段
AnA的长度为 4﹣ （n≥3，n是整数）．
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×4，第二次从A1点跳
动到A2处，即在离原点的长度为（）×4，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）×4
2n＝，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度．
【解答】解：由于OA＝4，
所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝OA＝×4＝2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）×4处，
2
同理跳动n次后，离原点的长度为（）×4＝
n，
故线段AnA的长度为4﹣（n≥3，n是整数）．
故答案为：4﹣．
【点评】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
三.解答题
1.（2018?广西池河?3分）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5
＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是 6 ．
【分析】由任意三个相邻数之和都是15，可知a1.a4.a7.…a3n+1相等，a2.a5.a8.…a3n+2相等，a3.a6.a9.…
a3n相等，可以得出a5＝a2＝5，根据a1+a2+a3＝15得4+5+a3＝15，求得a3，进而按循环规律求得结果．
【解答】解：由任意三个相邻数之和都是15可知：
a1+a2+a3＝15， a2+a3+a4＝15， a3+a4+a5＝15，
…
an+an+1+an+2＝15，
可以推出：a1＝a4＝a7＝…＝a3n+1，
a2＝a5＝a8＝…＝a3n+2， a3＝a6＝a9＝…＝a3n，
所以a5＝a2＝5， 则4+5+a3＝15， 解得a3＝6， ∵2019÷3＝673， 因此a2017＝a3＝6． 故答案为：6．
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第1.4.7…个数之间的关系，第2.5.8…个数之间的关系，第3.6.9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解．
2. （2019?山东省济宁市 ?8分）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数； （2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数． 例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0． ∴
＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）═（x＞0）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f（x）＝
+x（x＜0），
f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝ ﹣ ，f（﹣4）＝ ﹣ ；
（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是 增 函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题； （2）由（1）结论可得；
（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立． 【解答】解：（1）∵f（x）＝
+x（x＜0），
∴f（﹣3）＝﹣3＝﹣，f（﹣4）＝﹣4＝﹣
故答案为：﹣，﹣
（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＞f（﹣3）
∴函数f（x）＝+x（x＜0）是增函数
故答案为：增 （3）设x1＜x2＜0， ∵f（x1）﹣f（x2）＝
+x1﹣
﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣
）
∵x1＜x2＜0，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0 ∴f（x1）＜f（x2） ∴函数f（x）＝
+x（x＜0）是增函数
【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
3．(2019安徽)（8分）观察以下等式： 第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+……
，
按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：
；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据已知等式即可得； （2）根据已知等式得出规律
，再利用分式的混合运算法则验证即可．
【解答】解：（1）第6个等式为：，
故答案为： （2）
；
证明：∵右边＝∴等式成立， 故答案为：
．
＝左边．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出律，并熟练加以运用．
的规
7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。——富兰克林 8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。——法国 9、慈母的胳膊是慈爱构成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果 10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。——邓肯 11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。——印度
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