2019-2020年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.2数系的扩充与复数的引入学案文 

2019-2020年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.2数系的

扩充与复数的引入学案文

[知识梳理] 1．复数的有关概念

2．复数的几何意义

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． →(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ. 3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

(3)复数乘法的运算定律

复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

(4)复数加、减法的几何意义

→→→①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，→

OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数． →

→→→

②复数减法的几何意义：复数z1－z2是OZ1－OZ2＝Z2Z1所对应的复数． 4．模的运算性质：①|z|＝|z|＝z·z；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③??＝[诊断自测] 1．概念思辨

(1)关于x的方程ax＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有两个根．( ) (2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )

答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化

(1)(选修A1－2P63A组T1(3))在复平面内，复数z＝( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 D

1?12－i21?2

解析 z＝＝＝－i，其对应的点为?，－?，在第四象限．故选D.

5?2＋i?2＋i??2－i?55?5(2)(选修A1－2P61A组T3)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 答案 C

解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C.

3．小题热身

3＋i

(1)(xx·全国卷Ⅱ)＝( )

1＋iA．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 答案 D 解析

3＋i?3＋i??1－i?4－2i

＝＝＝2－i.故选D. 1＋i?1＋i??1－i?2

1

(i为虚数单位)对应的点位于2＋i

2

2

2

?z1?|z1|. ?z2?|z2|

1＋z(2)(xx·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝( )

1－zA．1 B.2 C.3 D．2 答案 A

1＋zi－1?i－1?－2i

解析 由已知＝i，可得z＝＝＝＝i，∴|z|＝|i|＝1，故选

1－zi＋1?i＋1??i－1?－2

2

A.

题型1 复数的有关概念

2

已知x，y为共轭复数，且(x＋y)－3xyi＝4－6i，求x，y. 典例

复数问题实数化．

解 设x＝a＋bi(a，b∈R)， 则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a＋b， 代入原式，得(2a)－3(a＋b)i＝4－6i，

??4a＝4，根据复数相等得?22

??－3?a＋b?＝－6，??a＝1，

解得?

?b＝1?

22

2

2

2

2

??a＝1，

或?

?b＝－1?

??x＝1＋i，

故所求复数为?

?y＝1－i，?

??a＝－1，或?

?b＝1?

??x＝1－i，或?

?y＝1＋i?

??a＝－1，或?

?b＝－1.?

??x＝－1＋i，或?

?y＝－1－i?

??x＝－1－i，

或?

?y＝－1＋i.?

方法技巧

有关复数的基本概念问题的关键

因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．见典例．

冲关针对训练

2＋i

(xx·山西四校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg (a＋b)的值是( )

1＋i1

A．－2 B．－1 C．0 D.

2答案 C

2＋i?2＋i??1－i?3i31

解析 因为＝＝－，所以a＝，b＝－，a＋b＝1，所以lg (a＋b)

1＋i22222＝0，故选C.

题型2 复数的几何意义

典例1 (xx·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )

A．(－3,1)

B．(－1,3)

C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)

根据复数z＝a＋bi(a，b∈R)的几何意义，写出不

等式求解．

答案 A

??m＋3>0，

解析 由已知可得?

?m－1<0?

??m>－3，

???m<1?

?－3

[条件探究1] 若将典例1中条件“z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象－

限”变为“复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)”，则复数z在复平面内对应的点在第几象限？

解 由条件知z＝1－2i，其在复平面内对应的点为(1，－2)，在第四象限． [条件探究2] 若将典例1中条件变为“复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限”，求实数a的取值范围．

解 ∵复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，∴

??a＋1<0，?

?1－a>1，?

∴a<－1.即实数a的取值范围是(－∞，－1)．

典例2 (xx·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( ) 12

A. B. C.2 D．2 22

先求z的代数形式，再求|z|.

答案 C

解析 由(1＋i)z＝2i得z＝∴|z|＝2.故选C. 方法技巧

复数几何意义及应用

→→1．复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?OZ.见典例1.

2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

3．|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x＋y，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．见典例2.

冲关针对训练

2

2

2i

＝1＋i， 1＋i