题组二 教材改编
2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 答案 C
解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数． 3．函数f(x)＝e－x的单调递增区间是________． 答案 (0，＋∞)
解析 由f′(x)＝e－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)． 4．当x>0时，lnx，x，e的大小关系是________． 答案 lnx 1 解析 构造函数f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯 xxxxx一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以lnx 5．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案 23a 27 2 xx解析 容积V＝(a－2x)x,0 2 a2 5 由V′＝0得x＝或x＝(舍去)，则x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点， 62623 此时Vmax＝a. 27题组三 易错自纠 6．函数f(x)＝x＋ax－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案 [－3,0] 解析 f′(x)＝3x＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0]． 1332 7．(2018·郑州质检)若函数f(x)＝x－x＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的 32值为________． 答案 －4 解析 f′(x)＝x－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x－3x＋a≤0的解集为[－1,4]， ∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4. 13 8．若函数f(x)＝x－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________. 3答案 4 解析 f′(x)＝x－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4. 132 9．已知函数f(x)＝x＋x－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围 3为________． 22 2 2 2 3 2 aaa?3?答案 ?，4? ?2? 解析 f′(x)＝x＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在 ??f′?1?＝3－2a<0， (1,2)上是单调递增函数，因此? ?f′?2?＝8－2a>0，? 2 3 解得 2 ?3，4?. ?2??? 6 第1课时 导数与函数的单调性 题型一 不含参函数的单调性 1．函数y＝4x2 ＋1x的单调增区间为( ) A．(0，＋∞) B.??1?2，＋∞??? C．(－∞，－1) D.??1? －∞，－2??? 答案 B 解析 由y＝4x2 ＋1x，得y′＝8x－1x2(x≠0)， 令y′>0，即8x－11 x2>0，解得x>2 ， 7 1?1?2 ∴函数y＝4x＋的单调增区间为?，＋∞?.故选B. x?2?2．函数f(x)＝x·e－eA．(－∞，e) C．(e，＋∞) 答案 D 解析 由f(x)＝x·e－e xx＋1 xx＋1 的递增区间是( ) B．(1，e) D．(e－1，＋∞) ， 得f′(x)＝(x＋1－e)·e， 令f′(x)>0，解得x>e－1， 所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调递减区间是________． x?1?答案 ?0，? ?e? 解析 因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)， 所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)， 1?1?当f′(x)<0时，解得0 4．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是______________________． π??π??答案 ?－π，－?和?0，? 22 ???? 解析 f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx. 令f′(x)＝xcosx>0， π??π??则其在区间(－π，π)上的解集为?－π，－?∪?0，?， 2??2??π??π??即f(x)的单调递增区间为?－π，－?和?0，?. 2??2??思维升华确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 8
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