(人教版)2020届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练39 直接证明与间接证明 文

课时跟踪训练(三十九) 直接证明与间接证明

[基础巩固]

一、选择题

1．设a、b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( ) A．b－a>0 C．a－b<0

[解析] ∵a－|b|>0，∴|b|0.∴－a0. [答案] D

1a2．“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的( )

4xA．充分不必要条件 C．充要条件

1

41

[解析] 当a＝时，x＋≥24x显然不成立．

[答案] A

3．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( ) A．a>b C．a＝b

[解析] ∵a＝m＋1－m＝

1

B．a

D．a，b大小不定 B．必要不充分条件 ．既不充分也不必要条件

1

411

x·＝1，当且仅当x＝，即x＝时取等号；反之，x4x2

2

2

B．a＋b<0 D．b＋a>0

33

m＋1＋m.

，

b＝m－m－1＝1

m＋m－1

而m＋1＋m>m＋m－1>0(m>1)， ∴

1

m＋1＋m<1

m＋m－1

，

即a

4．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a＋b>2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( ) A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤

2

2

1

12

[解析] 若a＝，b＝，则a＋b>1，

23但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出； 若a＝－2，b＝－3，则a＋b>2，故④推不出； 若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出； 对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1， 反证法：假设a≤1且b≤1， 则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，

因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1. [答案] C

5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 b－ac<3a”索的因应是( )

A．a－b>0 C．(a－b)(a－c)>0

[解析] 由题意知b－ac<3a?b－ac<3a ?(a＋c)－ac<3a ?a＋2ac＋c－ac－3a<0 ?－2a＋ac＋c<0 ?2a－ac－c>0

?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0. [答案] C

6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )

A．恒为负 C．恒为正

B．恒等于零 D．无法确定正负

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0

[解析] 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数．

由x1＋x2>0，可知x1>－x2，则f(x1)

7．(2018·安徽合肥模拟)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．

2

[解析] 解法一(取特殊值法)：取a＝2，b＝1，则m0，显然成立．

[答案] m

8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，

b＋a－b>a?a

b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．

[解析] 由题意2B＝A＋C，

π2

又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b＝ac，

3

由余弦定理得b＝a＋c－2accosB＝a＋c－ac， ∴a＋c－2ac＝0，即(a－c)＝0，∴a＝c， π

∴A＝C，∴A＝B＝C＝，

3∴△ABC为等边三角形． [答案] 等边三角形

21m9．(2018·广东佛山质检)已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，则m的最

ab2a＋b大值为________．

2

2

2

2

2

2

2

2

?21?[解析] 因为a>0，b>0，所以2a＋b>0.所以不等式可化为m≤?＋?(2a＋b)＝5＋

?ab?

????2?＋?.因为5＋2?＋?≥5＋4＝9，即其最小值为9，所以m≤9，即m的最大值等于9.

abab?

?

?

?

[答案] 9 三、解答题

10．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： 1(1)ab＋bc＋ac≤；

3

babaa2b2c2

(2)＋＋≥1.

bca[证明] (1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca， 得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)＝1，即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 1

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. 3

2

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2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a2b2c2

(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

bca 3

a2b2c2

故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， bcaa2b2c2a2b2c2

即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1. bcabca[能力提升]

?1?x?a＋b?，B＝f(ab)，C＝f?2ab?，则11．已知函数f(x)＝??，a，b是正实数，A＝f???a＋b?

?2??2???

A，B，C的大小关系为( )

A．A≤B≤C C．B≤C≤A [解析] ∵≤f(ab)≤f?

B．A≤C≤B D．C≤B≤A

2

≥ab≥

2ab?1?x?a＋b?，又f(x)＝??在R上是减函数，∴f??a＋b?2??2?

a＋b?2ab?. ??a＋b?

[答案] A

111

12．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( )

yzxA．至少有一个不大于2 C．至少有一个不小于2

B．都大于2 D．都小于2

111

[解析] a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，所以至少有一个不小于2.故选C.

xyz[答案] C

|a|＋|b|13．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤ 2.

|a＋b|[证明] ∵a⊥b，∴a·b＝0， |a|＋|b|要证≤ 2，

|a＋b|只需证|a|＋|b|≤ 2|a＋b|，

只需证|a|＋2|a||b|＋|b|≤2(a＋2a·b＋b)， 只需证|a|＋2|a||b|＋|b|≤2a＋2b， 只需证|a|＋|b|－2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|)≥0，

上式显然成立，故原不等式得证．

14．已知函数u(x)＝lnx的反函数为v(x)，f(x)＝x·v(x)－ax＋bx，且函数f(x)在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为45°.

(1)求实数b的值；

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

(2)若a0)无零点． [解] (1)因为函数u(x)＝lnx的反函数为v(x)，所以v(x)＝e， 所以f(x)＝xe－ax＋bx，所以f′(x)＝e＋xe－2ax＋b.

因为函数f(x)在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为45°，所以f′(0)＝tan45°＝1， 2

xx2xx即e0

＋0·e0

－2a×0＋b＝1，解得b＝0. (2)证明：由(1)知，f(x)＝xex－ax2

. 假设函数f(x)＝xex－ax2

(x>0)有零点，

x则f(x)＝0在(0，＋∞)上有解，即a＝e

x在(0，＋∞)上有解．

xx设g(x)＝e(x>0)，则g′(x)＝

e

x－1

xx2

(x>0)． 当01时，g′(x)>0.

所以g(x)≥g(x)min＝g(1)＝e，所以a≥e，但这与条件a0，证明： a2＋11

a2－2≥a＋a－2.

[证明] 要证 a2＋1

1

a2－2≥a＋a－2， 只需证

a2＋1

1

a2＋2≥a＋a＋2. ∵a>0，∴两边均大于零， ∴只需证??a2

＋1

?2?1?

a2＋2??≥??

a＋a＋2??2

?，

即证a2

＋1211

a2＋4＋4 a＋a2≥a2＋a2＋2＋2＋22???

a＋1a??

?，

只需证

a2＋1

2a2≥?

2??a＋1a???

，

只需证a2

＋11a?212≥2??a＋a2＋2???，

即证a2

＋1a2≥2，它显然成立．

∴原不等式成立.

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