边中有两边相邻，设为图中AB、AE．若有一边为BF=1，则ABFE成单位正方形，第五点在直线AE、BF外不可能与这四点成凸五边形．所以与B相邻的另一边为图中BC．同理与E相邻的另一边为图中ED．这
E3-043 一位船长来到了金银岛上，他知道宝藏埋在△ABC与△DEF的垂心连线的中点T的下面．其中A、B、C、D、E、F是圆形岸边的六棵棕榈树，但并不知哪棵树对应哪个字母，他为了找到宝藏，最多需要在几个点进行挖掘？
【题说】 1995年城市数学联赛高年级高水平题5． 【解】 建立平面直角坐标系，使得圆形海岸线恰是单位圆x2+y2=1．设A、B、C、D、E、F的坐标分别为（cosθA，sinθA）、（cosθB，sinθB）、（cosθC，sinθC）、（cosθD，sinθD）、（cosθE，sinθE）、（cosθF，sinθF），△ABC的重心坐标为
由欧拉线的性质可得△ABC的垂心坐标为
（cosθA+cosθB+cosθC，sinθA+sinθB+sinθC）
同理△DEF的垂心坐标为
（cosθD+cosθE+cosθF，sinθD+sinθE+sinθF）
故T的坐标为
船长只需在这一个地方进行挖掘．
E3-044 设M为平面上坐标为（p·1994，7p·1994）的点，其中p为素数，求满足下列条件的直角三角形的个数：
（1）三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点；
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（2）三角形的内心是坐标原点．
【题说】 1994年中国数学奥林匹克（第九届数学冬令营）题6． 【解】 关于OM中点Q作中心对称，满足条件的直角三角形变为以O点为直角顶点、M为内心的直角三角形OAB，A、B仍是整点．
直线OM斜率为tanβ=7，直线OA斜率为
由此可设A点坐标为（4t，3t），B点坐标为（-3s，4s）．从而知t=4t-3t，s=-3s+4s都是整数．
设△OAB内切圆半径为r，则
所以 OA+OB-AB=2r
即 t2+s2=（t+s）2-4p·1994·（t+s）+4p2·1994 整理得 （t-3988p）（s-3988p）
=2p2·19942=23·9972·p2
由于5t＞2r，5s＞2r，故所求三角形个数等于23·9972·P2正因子个数． 于是，当P≠2、997时，有（3+1）（2+1）（2+1）=36个解；当P=2时，有（5+1）（2+1）=18个解；当p=997时，有（3+1）（4+1）=20个解．
E3-045 空间内有四个不共面的点，问共有多少个平行六面体，使得该四点为其顶点？
【题说】 第七届（1973年）全苏数学奥林匹克九年级题5． 【解】 任何一个平行六面体，只要给出它的一个顶点和三个中截面（这三个中截面的每一个都与平行六面体的所有顶点等距，就是说这三个中截面都经过平行六面体的中心O且平行于其对面），就唯一确定这个平行六面体（如图a）．
现设不共面的四点为A1、B、C、D．显然存在7个到这四点等距的平面（其中有三个分别平行于四面体A1BCD的一组对棱，另外有四个分别平行于四面体的一个面．这7个平面都过四面体的有关棱的中点
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要的是交于一点O的三个平面，因此应排除平行于四面体同一条棱的“三平面组”（如图b中平行于BC的有三个平面：即M1M4M5，M3M4M6和M1M6M3M5）．容易知道这样的“三平面组”有6个．所以，共有29个交于一点的“三平面组”，由它们作三中截面，可以过这四点作29个不同的平行六面体．
E3-046 试考察，在三维空间里，是否有这样一个不全在一个平面上的有限的点集M，具有如下性质：对任何两点A、B∈M，总有另外两点C、D∈M，使得直线AB和CD平行但不重合．
【题说】 第十五届（1973年）国际数学奥林匹克题2．本题由波兰提供．
【解】 这种点集是有的．例如，M可以是一个正方体的顶点、中心，各面中心及各条棱的中点所组成的点集．
E3-047 今有一条折线，它的所有顶点全部位于某个棱长为2的正方体的表面上，它的每一段长度都是3，而且两个端点刚好是正方体的两个距离最远的顶点．试问：该折线最少有多少段？
【题说】 第二十二届（1988年）全苏数学奥林匹克十年级题3． 【解】 6段．理由如下：
设折线始于A点终于C1点．以A为球心、3为半径的球与正方体
、CC1的中点（如图a）．如果M不与K、L、N重合而位于3段弧之一段上时，则以M为球心，3为半径的球面经过A点，并且将立方体的其余点均包含在该球内部．所以折线必定经过K、L、N三点之一，图b即为6段折线的例子．
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E3-048 在棱长为1的正方体中，可否分割出三个不相交的棱长为1的正四面体？（允许其边界相切．）
【题说】 第十五届（1989年）全俄数学奥林匹克十年级题8． 【解】 可以做到．如图所示：以正方体中两个互相垂直的棱AD、BB1、C1D1分别为三个四面体的棱，而与它相对（在各自的四面体中）的棱，其长为1，分别过正方体的中心O，且被O点所平分（如图中与棱AD相对的棱O1O2，O1O2⊥平面OAD，O1O2＝1，且O1O＝OO2）．
E3-049 有77块尺寸为3×3×1的长方体木块，能否将其全部放进尺寸为7×9×11的有盖的盒子内？
【题说】 第二十三届（1989年）全苏数学奥林匹克八年级题2． 【解】 77块木块的总体积和盒子的容积相等．如果盒子能容下这些木块，则盒子的面必与木块的面完全相贴．木块的面的尺寸只有3×3与3×1两种，但11×7不被3整除．所以盒子无法完全容下这些木块．
E3-05 设O-xyz是空间直角坐标系，S是空间中的一个由有限个点组成的集合，Sx、Sy、Sz分别是S中所有点在Oyz平面、Ozx平面、Oxy平面上的正交投影所成的集合．证明：
|S|2≤|Sx|·|Sy|·|Sz|
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