复旦附中高三模拟数学试卷
一、填空题.
1.不等式
1x?3的解集为 ． 2.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人，为了调查职工的健康状況，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人．
?n?10003.已知a?n?1?2nn???1?nn?N?，则lim??an? ．
??n1?x?1000n4.一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n? ． 5.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为 ．
主视图 左视图
俯视图
6.若2sin?cos??cos2??0，则cot?? ．
?y?7.已知变量x，y满足约束条件?2?x?y?1，则z?3x?y的最大值为 ．
??x?y?18.已知点O为?ABC的外心，且uACuur?4，uABuur?2，则uAOuur?uBCuur? ．
9.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b??n0?n?9，n?N??，若a?b?1，称甲乙“心有灵犀”，则甲乙“心有灵犀”
的概率是 ．
10.在?ABC中，点D在边BC上，且DC?2BD，AB:AD:AC?3:k:1，则实数k的取值范围
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是 ．
11.已知函数f?x??x?sinx是R上的单调增函数，则关于x的方程x2?xsin2x?118?8cos4x的实根为 ．
12.已知a1，a2，???，an是1，2，???，n满足下列性质T的一个排列(n?2，n?N?)，性质T排列a1，
a2，???，an有且只有一个ai?ai?1?i??1,2,???,n??，则满足性质T的所有数列的数f?n?? ．
二、选择题
13.??2是圆锥曲线
y2x2??5?2???1的焦距与实数?无关的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
直线y?kx?m与双曲线x2y214.a2?b2?1?a?0,b?0?的交点个数最多为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15.若对任意x?R，都有f?x??f?x?1?，那么f?x?在R上( ) A．一定单调递增 B．一定没有单调减区间 C．可能没有单调增区间 D．一定没有单调增区间 16.在数列?aan?2?an?1n?中，对任意的n?N?，都有
a?a?k(其中k为常数)，则称?an?为“等差比数列”，
n?1n下面对“等差比数列”的判断： ①k不可能为0；
②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列；
④通项公式为ann?a?b?c (其中a?0b?1，b?0)的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
三、解答题
17.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的园环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，园环的圆心O距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点P0处.
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(1)试写出蚂蚁距离地面的高度h(米)关于时刻t(分钟)的函数关系式h?t?； (2)在蚂蚁绕圆环爬行一圏的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米?
18.如图，已知圆锥体SO的侧面积为15?，底面半径OA和OB互相垂直，且OA?3，P是母线BS的中点.
(1)求圆锥体的体积；
(2)异面直线SO与PA所成角的大小.(结果用反三角函数表示). 19.设常数a?R，若函数f?x???a?x?x?1存在反函数f?1?x?
(1)求证：a?1，并求出反函数f?1?x?；
(2)若关于x的不等式f?1?x2?m??f?1?mx??2对一切x??2,3?恒成立，求实数m的取值范围.
20.已知A、B是双曲线Cx2y21:a2?b2?1?a?0,b?0?的两个顶点，点P是双曲线上异于A、B的一点，O为坐标原点，射线OP交椭圆Cx2y22:a2?b2?1?a?b?1?于点Q，设直线PA、PB、QA、QB的斜率分
别为k1、k2、k3、k4.
(1)若双曲线C1的渐近线方程是y??12x，且过点(5,12)，求C1的方程； (2)在(1)的条件下，如果k151?k2?8，求?ABQ的面积； (3)试问：k1?k2?k3?k4是否为定值?如果是，请求出此定值；如果不是，请说明埋由.
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21.定义：若数列?a，对任意n?N?n?满足，存在实数M，都有an?M，则称数列?an?有上界，M是
数列?an?的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛(即极限存在). (1)数列??cos(sinn??2)???是否存在上界?若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由； (2)若非负数列?aa22n?满足1?0，an?1?an?1?1?an?n?N??，求证：1是非负数列?an?的一个上界，且数列?an?的极限存在，并求其极限；
(3)若正项递増数列?a?n?无上界，证明：存在k?N，当n?k时，恒有
a1a?a2?????an?1?n?2019. 2a3an
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复旦附中高三模拟数学试卷
试卷答案
一、填空题
1.(0,1) 2.10 3.
132 4.14 5.83 6.0或2 7.11 8.6 9.
725 10.(57n3,3) 11.0 12.2?n?1
二、选择题
13.A 14.B 15.C 16.D
三、解答题
17.（1）h?1.5?cos(?2t)；
（2）
23?t?1083，所以时长为3分钟. 18.（1）12? （2）arctan354. 19.（1）证明略，f?1?x?????1??x,x?0 ??1?x,x?0（2）f?1?x?递减，且对称中心为?0,1?，
所以2x2?mx?m?0在x??2,3?恒成立，解得m??4
20.（1）x24?y2?1； （2）PQ:y?415x，y816Q?17，面积为17； （3）定值为0. 21.（1）存在，1； （2）略，极限1； （3）略.
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