高一数学必修4导学案
第一章 三角函数 1.1.1 任意角
【学习目标】
1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念
2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】
用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入
问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？
______________________________________________________。 所学的角的范围是什么？
______________________________________________________。 问题2：在体操、跳水中，有“转体720”这样的动作名词，这里的“720”，怎么刻画？
______________________________________________________。 二、建构数学 1．角的概念
角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类
按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 【典型例题】 1、度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小对于α＝210°，β＝－150°，γ＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？
（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？
（3）如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度 才能将时间校准？
2、任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°，50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
3. 终边相同的角
思考: （1）下列角分别是第几象限角？
00?300?，?150?，?60?，-660?，60?，210，300，420，780，
????这当中一些角有什么共同特征？
（2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60角终边相同的角的集合吗？
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示
1
0成 。 4．象限角、轴线角的概念
我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与__________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。 象限角的集合
（1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________
轴线角的集合
（1）终边在x轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在x轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （3）终边在y轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在y轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （5）终边在x轴上的角的集合：_______________________________________ （6）终边在y轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________ 三、课前练习
在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。
300,1500,?600,3900,?3900,?1200
【典型例题】
例2 在0到360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。
（1）650 （2）?150 （3）?240 （4）－950012＇
例3 已知?与240角的终边相同，判断
000000?是第几象限角。 2
例4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。
例5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）
（1） （2） （3） 【拓展延伸】
已知角?是第二象限角，试判断
2
?为第几象限角？ 2
【巩固练习】
1、设???60，则与角?终边相同的角的集合可以表示为___________________.
2、把下列各角化成??k?3600(00???3600,k?Z)的形式，并指出它们是第几象限的角。 （1）1200 （2）?55 （3）1563 （4）?1590
3、终边在y轴上的角的集合_______________;终边在直线y?x上的角的集合________________;终边在四个象限角平分线上的角的集合_________________________.
4、 终边在30角终边的反向延长线上的角的集合___________________________.
005、 若角?的终边与45角的终边关于原点对称，则??___________；若角?,?的终边关于直线x?y?0对称，且???60，则
000000??____________。
6、 集合A?{?|??k?900?360,k?Z}，
. B?{?|?1800???1800}，则A?B?_________7、若
?是第一象限角，则?的终边在__________________________ 2【课后训练】
1、 分针走10分钟所转过的角度为___________;时针转过的角度为____________. 2、若900?????1350，则???的范围是_________，???的范围是________. 3、（1）与?3530'终边相同的最小正角是________; （2）与715终边相同的最大负角是_______________; （3）与1000终边相同且绝对值最小的角是__________; （4）与?1778终边相同且绝对值最小的角是___________.
4、与?15终边相同的在?10800????3600之间的角?为_______________________. 5、已知角?,?的终边相同，则???的终边在___________________________. 6、若?是第四象限角，则180??是第_____象限角；180??是第____象限角。 7、若集合A?{?|k?180?30???k?180?90,k?Z}， 集合B?{?|k?360?45???k?360?45,k?Z}，
000000000000000___. 则A?B?__________8、已知集合M?{锐角（1）P?N， }，N?{小于900的角}，下列说法：}，P?{第一象限的角（2）N?P?M，（3）M?P，（4）(M?N)?P其中正确的是____________. 9、下列命题正确的是（ ）
A、 第一象限角一定不是负角 B. 小于90的角一定是锐角 C 钝角一定是第二象限角 D 第一象限角一定是锐角
10．试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：
（1）－550 ° （2）1680 （3）?1290 （4）?1510
11、角?小于180而大于?180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角?。 12、已知?与60角的终边相同，分别判断
3
0000000?2,2?是第几象限角。
【课堂小结】
1. 角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角， 都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.
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