第二章 平面向量
数学·必修4(人教A版)
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
基础提升
1．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( ) A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数
C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对
答案：A
2．如果3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1
＝________，e2＝________.
答案：e1＝3a－4b e2＝－2a＋3b
第二章 平面向量
→＝3e－2e，BC→＝4e3．设e1，e2是平面内一组基底，如果AB121
→＝8e－9e，则共线的三点是( ) ＋e2，CD12
A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D 答案：C
4．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1 C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
解析：∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)， ∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，故选B. 答案：B
5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.
解析：由题意，得3x－4y＝6且2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，∴x－y＝3.
答案：3
第二章 平面向量
巩固提高
6．如下图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的→＝a，AD→＝b，用a、b表示AG→＝中点，EF与AC交于点G，若AB________.
解析：∵E、F分别为相应边中点， →＝3AC→＝3(a＋b)＝3a＋3b. ∴AG
444433
答案：a＋b
44
1→→→7．在三角形ABC中，AE＝AB，EF∥BC交AC于F点，设AB5→＝b，试用a，b表示向量BF→. ＝a，AC
解析：如图所示，
第二章 平面向量
1→→→＝BE→＋EF→ ∵AE＝AB，EF∥BC交AC于F点，∴BF54→1→＝BA＋BC 554→1?→→?＝－AB＋?AC－AB?
55→＋1AC→＝－a＋1b. ＝－AB
55
8．若a，b是两个有相同起点且不共线的非零向量，当t(t∈R)1
为何值时，三向量a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上？
3
→＝a，OB→＝tb，OC→＝1(a＋b)，∴AC→＝OC→－OA→＝－解析：设OA
321→→→→＝λAB→，a＋b，AB＝OB－OA＝tb－a.要使A，B，C三点共线，则AC33
2? －＝ －λ，?321
即－a＋b＝λtb－λa，∴?331
?? 3＝λt，三向量终点在同一直线上．
11
解得t＝.∴当t＝时，22
第二章 平面向量
9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝ 若AC
________________________________________________________________________.
→＝b，BA→＝a，则AF→＝1b－a，AE→＝b－1a，AC→＝b解析：设BC
22→＝λAE→＋μAF→得λ＝μ＝2.∴λ＋μ＝4. －a.代入条件AC
33
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