?3n n为正奇数数列{an}满足a1??1，an?1??．
f(a) n为正偶数n?（Ⅰ）求f(n)关于n(n?N*)的表达式和数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?3nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
x2y2x2221．（本小题满分13分）已知椭圆C1：2?2?1（a?b?0）的左右顶点是双曲线C2：?y?13ab的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）若直线l与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，且OQ1?OQ2??5，求M1M2Q2两点，的取值范围．
22．（本小题满分13分）已知函数f(x)?xlnx．（其中e?2.71828为自然对数的底数）
3． 21,??)上有2个不同的实根，求实数a的取值范围； 2e121?e（Ⅱ）设g(x)?f(x)?x，证明：g(x)极小值?；
ee（III）若P(x1,y1)，Q(x2,y2)是函数f(x)的图象上不同的两点，且函数f(x)的图象在P，Q处
（Ⅰ）若方程f(x)?a?0在区间[切线交点的横坐标为s，直线PQ在y轴上的截距为t，记M?x1?x2?s?t，请探索M的值是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
2019年常德市高三年级模拟考试
数学（理科）参考答案
·5·
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中， 有一项是符合题目要求的． 1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C
二．填空题：本大题共25分.把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上. ．．．
只
（一）选做题（11—13题，考生只从3题中任选2题作答。若3个都作答，则只给11、12题计分） 11．2
12．40?
13．(-2,4)
（二）必做题（14—16题） 14．2-
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（Ⅰ）函数f(x)?2
p
15．
1 16．①②③ 52?m2sin(?x??)，
2……………………………3分
2?所以f(x)min??2?m2??2,?m?又由已知函数f(x)的最小正周期为?，所以T?（Ⅱ）有（Ⅰ）得f(x)?2sin(2x??2??，???2 ………6分
45?4??6)，所以f()?2sin(??)?,
?sin(???4)?3?3???),????(,?), ，??(,54442??4?cos(??)??1?sin2(??)?? ………………………………………9分
445?sin??sin(???f(????????72?)?sin(??)cos?cos(??)sin?， 44444410?8)??8)?2sin[2(???4]?2sin(2???2)?2cos2??2(1?2sin2?)
?2[1?2(72248)]?? ……………………………………………………12分 102518． （1）甲、乙所付费用可以为10元、10元、30元
111???…………………1分 甲、乙两人所付费用都是10元的概率为P1326111??…………………2分 甲、乙两人所付费用都是20元的概率为P1?236甲、乙两人所付费用都是30元的概率为
·6·
11111?(1??)?(1??)? P………3分 1322336故甲、乙两人所付费用相等的概率为P?P1?P2?P3?13………………5分 36（2）随机变量?的取值可以为20,30,40,50,60……………………………6分
? P(??20)111?? 236111113P(??30)?????
3322361111111111P(??40)???（1??）??（1-?）??
23233322361111115P(??50)??（1??）?（1??）??
2232333611111P(??60)?（1??）?（1??）?
232336故?的分布列为：
? P 20 30 40 50 60 1 613 3611 365 361 36 ……………………………………………10分
1131151??的数学期望是E??20??30??40??50??60??35
636363636 ………………………………………………………12分
?19．（Ⅰ）证明：因为?ACB?90，平面AEC平面ABCD，所以BC?平面AEC,
又EF∥BC，所以EF?平面AEC，所以EF?AE,EF?CE,又AE?EC，所以?CEF≌
?AEF,?AF?CF； ………………………………………………5分
（Ⅱ）取AC的中点O，因为AE?EC，所以EO?AC,又平面AEC平面ABCD， 所以EO?平面ABCD, ……………………………………………………………6分 如图建立空间直角坐标系，则C(1,0,0)，A(?1,0,0)，D(?1,2,0),设E(0,0,m)
z?EC?(1,0,?m),ED?(?1,2,?m)，
设平面ECD的法向量为n1?(x,y,1)，
F EAD ·7·
OByxC??x?m?0?n?EC?0则由?1,即?，
?x?2y?m?0???n1?ED?0得x?m,y?m，?n1?(m,m,1) …………9分
由（Ⅰ）知EF?平面AEC，所以平面AEC的法向量为n2?FE?(0,1,0),
?cos?n1,n2??n1?n2m3，?m?1 ………10分 ??23|n1||n2|2m?1所以VA?EFC?VF?AEC?1111EF?S?ACE??1??1?2? …………………12分 332320．（Ⅰ）由已知f(1)?1,f(n?1)?f(n)?3， ∴f(n)?1?3(n?1)?3n?2……2分 ∴n为正偶数时，an?a(n?1)?1?3n?1，……………………………………………3分
n为正奇数时，an?a(n?1)?1?f(an?1)?3an?1?2?3?3n?2?2?3n?1?2
且n?1时，a1??1也适合上式………………………………5分
n?1??3?2 n为正奇数∴an??n?1………………………………………………6分
3 n为正偶数???n?3n?6n n为正奇数?（Ⅱ）bn??………………………………………7分 n??n?3 n为正偶数① 当n为正偶数时，
Sn?(1?31?6?1)?2?32?(3?33?6?3)??(1?31?2?32?3?33??[3?3n?1?6?(n?1)]?n?3n
?(n?1)]
?n?3n)?6?[1?3?n?n32?An?6??An?n2…………………………………………………8分
22其中An?1?3?2?3?3?3?123?n?3n
3An?1?32?2?33?3?34?12?n?3n?1
3两式相减得?2An?3?3?3?3?13?3n?n?3n?1=(?n)?3n?1?
22·8·
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