3?， 4n1n?1323∴当n为正偶数时，Sn?(?)?3?n?………………………10分
2424n?11n33?)?3?(n?1)2??n?3n?6n ② n为正奇数时，Sn?Sn?1?bn?(2424n1n?1323 ?(?)?3?n?3n? ……………………12分
2424∴An?(?)?3n?1n214?n1n?1323(?)?3?n? n为正偶数 ??2424∴Sn??……………13分
n133?(?)?3n?1?n2?3n? n为正奇数 ??242421．解：（Ⅰ）由题意可知：a?3， ……1分 又椭圆C1的上顶点为(0,b)， 双曲线C2的渐近线为：y??23x?x?3y?0，………………………2分 33?3b??b?1 ……………………3分 由点到直线的距离公式有：22x2?y2?1． …………………4分 所以点M的轨迹C1的方程为：3x2?y2?1，消去y并整理得：（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?kx?m，代入 3(1?3k2)x2?6kmx?3m2?3?0 要与C2相交于两点，则应有：
22???1?3k?0?1?3k?0 ??2……① ……5分 ?22222???36km?4(1?3k)(?3m?3)?0?m?1?3k6km?3m2?3设Q1(x1,y1)、Q2(x2,y2)，则有：x1?x2? ，x1?x2?．
1?3k21?3k2又OQ1?OQ2?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2
1[(1?k2)(?3m2?3)?6k2m2?m2(1?3k2)]??5 又：OQ1?OQ2??5，所以有：21?3k?m2?1?9k2 ……② ………………7分
x2?y2?1，消去y并整理得：(1?3k2)x2?6kmx?3m2?3?0, 将y?kx?m，代入3要有两交点，则??36k2m2?4(1?3k2)(3m2?3)?0?3k2?1?m2……③
·9·
1 ． …………………………………9分 9?6km3m2?3设M1(x3,y3)、M2(x4,y4)，则有：x3?x4? ，x3?x4?． 221?3k1?3k由①②③有：0?k?2所以：
36k2m2?4(3m2?3)(1?3k2)?4(3m2?3?9k2)2 M1M2?1?k??1?k?(1?3k2)2(1?3k2)22144k2又m?1?9k，代入有：M1M2?1?k? 22(1?3k)12k2?M1M2?1?k．………………………………………………11分 21?3k1k2(1?k2)2t?(0,]， t?k，令，则?M1M2?12229(1?3k)1t(1?t)1?t?t?(0,]， ?f(t)?令f(t)?，又239(1?3t)(1?3t)11所以f?(t)?0在t?(0,]内恒成立，故函数f(t)在t?(0,]内单调递增，
997故f(t)?(0,]?M1M2?(0,10]． ……13分
81222
22．解：（1）令f?(x)?1?lnx?0，得0?x?令f?(x)?1?lnx?0，得x?1， e1， e?f(x)在[111,)(,??)上单调递增，………………2分 上单调递减，在2eee12111又f(2)??2，f()??，要方程f(x)?a?0在区间[2,??)上有2个不同的实根，则
eeeee1111f()?a?f(2)，即a?(?,?2]………………4分 eeee1222（2）g(x)?xlnx?x，令g?(x)?1?lnx?x?0，即lnx?x?1（*）
eee易知方程（*）的一根为x?e，结合函数y?lnx与y?2x?1图象，设另一根为x?x0，则elnx0?2x0?1， e2?1?1，?0?x0?1，………………6分 e当x?1时，ln1?且当x?(0,x0)时，g?(x)?0，
·10·
当x?(x0,e)时，g?(x)?0，当x?(e,??)时，g?(x)?0，
12112?g(x)极小值?g(x0)?x0lnx0?x02?x0(x0?1)?x02?x0?x0
eeee11x0?(0,1)，?g(x)极小值??12?1??1 ………………9分
ee（3）设直线PQ:y?kx?t，?x1lnx1?kx1?t， 即lnx1?k?lnx2?lnx1ttt，同理lnx2?k?，?………① ……10分 ??x1x2x2?x1x1x2设两切线交于点(s,r)，?(1?lnx1)(x1?s)?x1lnx1?r， 即?(1?lnx1)s?x1?r，同理(1?lnx2)s?x2?r，
?s?x2?x1，………② ………………12分
lnx2?lnx1s?t由①②得??1，即s?t?x1?x2?0 ，所以M?0 ………………13分
x1?x2
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