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21．【答案】（1）答案见解析；（2）函数f?x?在定义域???,???上有且只有一个零点．
【解析】（1）函数f?x?的定义域为???,???，
f??x??ex??x?1?ex?kx?xex?kx?x?ex?k?，·········1分
①当k?0时，令f??x??0，解得x?0．
0?，单调递增区间是?0,???；·∴f?x?的单调递减区间是???，········2分 ②当0?k?1时，令f??x??0，解得x?lnk或x?0．
0?上单调递减；·∴f?x?在???,lnk?和?0,???上单调递增，在?lnk,········3分 ③当k?1时，f??x??0，f?x?在???,???上单调递增；·········4分
0?和?lnk,???④当k?1时，令f??x??0，解得x?0或x?lnk，所以f?x?在???，上单调递增，在?0,lnk?上单调递减．·········5分 （2）f?0???1，
0?时， ①当0?k?1时，由（1）知，当x????,kk2f?x??fmax?x??f?lnk???lnk?1?k?ln2k????lnk?1??1??0，
?22?此时f?x?无零点，·········6分
22当x??0,???时，f?2??e?2k?e?2?0．
又∵f?x?在?0,???上单调递增，∴f?x?在?0,???上有唯一的零点，
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∴函数f?x?在定义域???,???上有唯一的零点；·········7分 ②当k?1时，由（1）知，当x????,lnk?时，
f?x??fmax?x??f?0???1?0，此时f?x?无零点；·········8分 当x??lnk,???时，f?lnk??f?0???1?0，
22??kk?1k?1????k?1k?1f?k?1??ke??k?e??．
22????12ttt令g?t??e?t，t?k?1?2，则g??t??e?t，g???t??e?1，
22∵t?2，g???t??0，g??t?在?2,???上单调递增，g??t??g??2??e?2?0，
2∴g?t?在?2,???上单调递增，得g?t??g?2??e?2?0，即f?k?1??0．
∴f?x?在?lnk,???上有唯一的零点，故函数f?x?在定义域???,???上有唯一的零点．·········11分
,??综合①②知，当k?0时函数f?x?在定义域????上有且只有一个零点．·········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
2222．【答案】（1）x?y?4x，y??3?x?3?；（2）AP?AQ?3．
【解析】（1）??4cos?，??2?4?cos?，?2?x2?y2，
??cos??x，?sin??y；?x2?y2?4x，
?C1的直角坐标方程为：x2?y2?4x，
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1?x?3?t?2?，?y??3(x?3)，?C2的普通方程为y??3?x?3?．·········5分 ?3?y?t??21?x?3?t?2?22（2）将?，代入x?y?4x，
?y?3t??21?31???得：?3?t??t2?4?3?t?，?t2?3t?9?12?2t，?t2?t?3?0，
2?42????t1?t2?1，t1?t2??3，
2由t的几何意义可得：AP?AQ?t1t2?t1t2?3．·········10分 23．【答案】（1）M?4；（2）证明见解析．
【解析】（1）若不等式f?x??m?1有解，只需f?x?的最大值f?x?max?m?1即可．
因为x?1?x?2??x?1???x?2??3，所以m?1?3，解得?2?m?4， 所以实数m的最大值M?4．·········5分
（2）根据（1）知正实数a，b满足3a2?b2?4，
22由柯西不等式可知?3a?b??3?1???3a?b?，
2所以，?3a?b??16，因为a，b均为正实数，所以3a?b?4 (当且仅当a?b?1时取“=”)．·········10分
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