1E(A1)?(180?115+50)?11531E(A2)?(240+140+35)?138.3
31E(A3)?(120+90+70)?93.33从而A2为最优方案。
10．某建筑安装公司对当前形势进行分析之后，提出了三种生产方案A，B，C。预计有三种自然状态?1，?2，?3会出现，其出现的概率无法确定。通过估算对应的费用（单位：万元）情况如下表所示。该公司决策者对前途充满自信，持乐观态度，决定采用最大最大准则决策，那么，应选择哪一种方案？
费 方案 用 状 态 ?1 32 21 38 ?2 40 28 42 ?3 29 45 27 A B C 解：选择方案B.
11．国内生产企业产品全部销往东南亚等地。最近，该企业拟定了今后5年内的三种扩大再生产方案。（1）建设一个新厂；（2）对所属各厂进行技术改造；（3）扩建部分工厂。经过分析认为今后5年之内可能遇到四种市场需求状况：高需求，中需求，低需求，无需求。并估算了5年之内三种方案在不同的需求状况下的损益值的估计如下表所示。
损 方 益 状 值 态 高需求 中需求 低需求 无需求 案 建设新厂 技术改造 扩建原厂 160 100 125 70 45 60 -65 -5 -50 -130 -40 -95 若采用悲观准则，乐观准则，??0.60为乐观系数的赫尔威兹准则分别进行决策，最优方案分别是何种方案？
悲观准则：最优方案是A，进行技术改造。乐观准则：最优方案是A1，建设新厂。
2?准则： E(A1)?0.6?160?(1?0.6)?(?130)?44
E(A2)?0.6?100?(1?0.6)?(?40)?44E(A3)?0.6?125?(1?0.6)?(?95)?37A1、A2均为最优方案。
12．在上题中，如果四种需求状态出现的机会均等，采用等概率准则进行决策，那么该企业应选择哪一方案？
解：如果四种需求状态出现的机会均等，采用等概率准则进行决策，则有：
1E(A1)?(160?70?65?130)?8.7541E(A2)?(100?45?5?40)?25
41E(A3)?(125?60?50?95)?104故选择方案2，即对所属各厂进行技术改造；
13.有一个n个自然状态的决策问题，这n个自然状态出现的概率分别为p1,p2,L,pn，假如已知p1,p2的值，而关于p3,p4,L,pn的值我们只知道pj?pj?1?Mj(j?3,L,n)其中Mj 为非负常数，pn?1?0。现有一方案S，它对应于n个自然状态的收益分别为
X1,X2,L,Xn。试求S的期望获得的极值。
解：E(S)?p1X1?p2X2?n?pXj?3jnj
令：E(A)??pXj?3jj，满足
pj?pj?1?Mj(j?3,L,n)，?pj?1?p1?p2，Mj?0。
j?3n所以A服从概率严排序，则E(A)的值为：
E(A)?(1?D)(1?P1?P2)?j?C
其中：C??Mjxj,D??（j-2）Mj，?j?j?3j?3nn?xii?3jj?2,
因此可得：
maxE(A)?(1?D)(1?P1?P2)max?j?C minE(A)?(1?D)(1?P1?P2)min?j?C
????maxE(S)?P1?P1X1?P2X2?(1?D)(1?P2)max?j?C minE(S)?P1X1?P2X212j???(1?D)(1?P?P)min????C
14. 对于引例的数据 方案 A1 A2 A3 市场需求情况 畅销 85 54 24 偏好 40 37 24 稍差 -2 11 12 滞销 -43 -14 0 试就以下情况确定最佳方案。
1） 各市场需求状况下的概率均未知，试用不同的决策准则确定方案； 乐观准则：maxmax(Aj)?85，从而A1为最优方案；
j悲观准则： maxmin(Aj)?0，从而A3为最优方案；
j后悔值准则：首先根据收益值得到如下后悔值表
方案 A1 A2 A3 j后悔值 畅销 0 31 61 偏好 0 3 16 稍差 14 1 0 滞销 43 14 0 由minmax(Rj)=31，从而A2为最优方案； 折衷准则：取?=0.6，则有：
E(A1)?0.6?85?0.4?（43）-?33.8E(A2)?0.6?54?0.4?（-14）?26.8 E(A3)?0.6?24?0.4?0?14.4从而A1为最优方案； 等概率准则：
1E(A1)?（85?40?2?43)?2041E(A2)?(54?37+11?14)?22
41E(A3)?(24+24+12+0)?154从而A2为最优方案；
2） 由于是开发新产品，无过去销售经验可谈，因此市场需求情况无法预先作出判断。但根据各方面情况的综合研究以及市场需求分布的一般规律，可以认为需求偏好的可能性最大，其次是畅销，第三是需求稍差，可能性最小的是滞销。
令：D1?A1?A2，D2?A1?A3,D3?A2?A3,这三个方案的后果值以及在弱排序下的
期望值之极值见表1。
表1 Di的局部平均数和期望值极值
后果值 局部平均数 弱排序 p2 p1 p3 p4 ?i2 3 31 -13 -29 3 ?i1 17 38.5 21.5 ?i3 ?i4 maxE(Di) minE(Di) 7 21 14 -2 5 7 17 38.5 21.5 -2 5 7 D1 D2 16 61 -14 -43 16 D3 13 30 -1 -14 13 可见，A1和A2均对A3具有严优势，因此先淘汰方案A3。之后根据优势程度对A1和A2进行评价：
max E(A1－A2)＝17 ， max E(A2－A1)＝2， max E(A1－A3)＝38.5， max E(A3－A1)＝-5， max E(A2－A3)＝21.5， max E(A3－A2)＝-7，
A1和A2的优势程度可算得分别为：58.5，13.5，所以最优方案为A1。
3） 根据各方面情况的综合研究以及市场需求分布的一般规律，已知畅销的概率是0.2，而在其它三者中需求偏好的概率最大，其次是需求稍差，可能性最小的是滞销。 解：
结合习题13，令：D1?A1?A2，D2?A1?A3,D3?A2?A3
后果值 局部平均数 弱排序 maxE(Di) minE(Di) 3 16 13 -13 -13.667 -0.667 p2 p3 p4 ?2 3 -13 -29 3 ?3 -5 1 6 ?4 -13 -13.667 -0.667 D1D2D3‘ ‘ 16 -14 -43 16 13 -1 -14 13 ‘ maxE(D1)?P1X1?(1?P1)max?j??
??
maxE(D1)?maxE(A1?A2)?P1(X11?X21)?(1?P1)max?j?0.2*31?0.8*3?8.7同理可得：maxE(D2)?25
maxE(D3)?16.4
根据严优势条件，可见A1对A2和A3均具有严优势，因此最优方案为A1。
第十一章 多目标决策
思考与练习
1、 什么是多目标决策？处理多目标决策问题有哪些准则？
答：系统方案的选择取决于多个目标的满足程度，这类决策问题称为多目标决策。 多目标的决策准则：最优准则和满意准则。
2、 解决多目标决策问题主要有哪些方法？各有什么特点？
答：解决多目标决策问题的方法较多主要有三种，分别为化多目标为单目标的方法、重排次序法和分层序列法。
化多目标为单目标的方法：先把多目标问题换成单目标问题然后进行求解。
重排次序法：直接对目标决策问题的待选方案的解重排次序，然后决定解的取舍，直到最后找到“选好解”。
分层序列法:把目标按照重要程度重新排序，对某一个目标，求最优解，找出所有最优解集合，在该集合上再对某一个目标求最优解，找出所有最优解集合，依次类推，直到求出第m个目标的最优解为止。
3、 某单位经销两种货物，售出每吨甲货物可盈利202元，乙货物可盈利175元。各种货物
每吨占用流动资金683元，货物经销中有8.48%的损耗，公司负责人希望下个月能达到如下目标：
（1）要求盈利5.03万元以上；
（2）要求经销甲货物5000吨以上，经销乙货物18000吨以上； （3）要求流动资金占用在1200万元以上； （4）要求经销损耗在1950吨以下。 问：单位负责人的目标是否有办法完全达到？如果无法完全达到应如何经销才能使单位负责人最为满意？
解:设下月货物甲经销了x吨，货物乙经销了y吨，则由题意有，
?f1:x?5000,y?18000?f:x?(1?8.48%)?202?y?(1?8.48%)?175?5.03?104?2 ?4f:(x?y)?683?1200?10?3??f4:(x?y)?8.48%?1950当x?5000,y?18000时，f4不能满足(5000?18000)?8.48%?1950.40吨，此时经销损耗在f1约束下的最小值，因此，无法找到满足所有目标的解决方案及最优解，只能在多个目标中找到一个较优解。当经销损耗的最小值提高0.4吨时，x?5000,y?18000满足公司负责人的要求。此时，
f1:x?5000,y?18000??f:5000?(1?8.48%)?202?18000?(1?8.48%)?175=3807232?5.03?104?2 ?4f:(5000?18000)?683=15709000?1200?103???f4:(5000?18000)?8.48%=1950.40?1950.404、 试述层次分析法的基本思想与步骤。
答：层次分析法的基本思想：把复杂的问题分解成若干层次和若干要素，在各要素间简单地进行比较、判断和计算，以获得不同要素和不同备选方案的权重。
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