可得a22n?1?a2n?(2n?1)2?2(2n?1)?2(2n?1)(2n?1)?12n?1?12n?1，
所以S12n?1?13+13?15+…+12n?1?12n?1?1?12n?1?2n2n?1， 由a?11772??1?2，递推可得a111?2?6?2?3，a3??12??11213?4，a4?20?214?5，
归纳可得(?1)n?1n(n?1).
30．若数列?a1n?满足an?1?3?2a，且对任意n?N*，有an?1?an，则a1的取值范围是________.
n【答案】a1?12 【解析】
1已知
an?1?3?2a?ann，
① 若3?2a3n?0，即an?2时， 可得an(3?2an)?1
解得a1n?2或an?1（舍去） ②若3?2a?3n?0，即an2时，
可得an(3?2an)?1
解得
12?an?1（舍去） 因此a1n?2。
又对任意n?N*，有an?1?an
?a12?3?2a?a1
1即2a21?3a1?1?0
解得a1?12或a1?1（舍去，当a1?1时，不满足an?1?an）
21
综上所述，a1?12。 31．已知数列?an?满足：a1?2，an?an?1?4n?2?n?2?. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）若数列?bn?满足：b1?3b2?7b3??????2n?1?bn?an，求数列?bn?的通项公式.
【答案】（Ⅰ）an?2n；（Ⅱ）bn?22n?1 【解析】
（Ⅰ）由an?an?1?4n?2?n?2?可化为?an?2n???an?1?2n?2??0. 令cn?an?2n，则cn?cn?1?0，即cn??cn?1. 因为a1?2，所以c1?a1?2?0， 所以cn?0，
即an?2n?0，故an?2n.
（Ⅱ）由b1?3b2?7b3??????2n?1?bn?an， 可知b1?3b2?7b3?L??2n?1?1?bn?1?an?1?n?2?，
两式作差得?2n?1?bn?an?an?1?2?n?2?，
即b2n?2n?1?n?2?. 又当n?1时，也b1?a1?2满足上式， 故bn?22n?1. 32．已知数列?a123n?满足
2a5?2a??…?n?n．
1?2?52a3?52an?53（1）求数列?an?的通项公式； （2）设数列??1??a?的前n项和为T1n，证明：?T?1． nan?1?22n6【答案】（1）a3n?5n?2（2）证明见解析
22
【解析】 （1）解：
12a5?22a?3?…?n?n，①
1?2?52a3?52an?53当n?1时，a1?4． 当n?2时，
123n?2a?5?2a??…?1?n?1，②
12?52a3?52an?1?53由①-②，得a3n?5n?2?n?2?， 因为a3n?51?4符合上式，所以an?2．
（2）证明：144?11a?????? nan?1?3n?5??3n?8?3?3n?53n?8?T1n?a?1?…?1 1a2a2a3anan?1?4??11??11?1?3?????8?11?????11?14???…???1?3n?5?3n?8???? ??4?113???8??3n?8?? 因为0?13n?8?111，所以122?T1n?6． 33．已知数列?a满足，aaaa1*n?1?22?33?????nn?2n?n?1??n?N?.
（1）求a1，a2的值
（2）求数列?an?的通项公式； （3）设bn?1，数列?b3n?2n?的前n项和为Sn，求证：?n?N*a，?Sn?1. nan?14【答案】（1）a（2）a2*1?1,a2?4n?n?n?N?（3）证明见解析
【解析】
（1）由aa21?2?a33?????ann?12n?n?1??n?N*? 当n?1时，a11?2?1?1??1，即a1?1.
23
a21??2??2?1??3，解得a2?4. 22aaa1（2）∵a1?2?3?????n?n?n?1?①，
23n2aaa1∴当n?2时，a1?2?3?????n?1??n?1?n②
23n?12a112①－②n?n?n?1???n?1?n?n，∴an?n，
n22当n?2时，1?由（1）a1?1，即上式当n?1时也成立. 因此，?an?的通项公式为an?n（3）由（2）得bn?2?n?N?；
*2n?12n?111?2??， anan?1n?n?1?2n2?n?1?2?11??11??11?1???∴Sn?b1?b2?b3?????bn??1?2???2?2???2?2???????2?2 ?22334n???????n?1?????1?1?n?1?2
∵Sn?1?1?n?1?2单调递增，∴当n?1时Sn取最小值S1?3， 4∵?n?N，
*1?n?1?2?0，∴1?1?n?1?2?1，即Sn?1.
因此，
3?Sn?1. 434．棋盘上标有第0、1、2、L、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为Pn.
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望； （2）证明：Pn?1?Pn??（3）求P99、P100的值.
【答案】（1）分布列见解析，随机变量X的数学期望为
1?Pn?Pn?1??1?n?98?； 29；（2）证明见解析； 2 24
（3）P99?【解析】
2?11??3?21001?1?P?1?，100??3?299???. ?（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6.
3?1?11?1?P?X?3?????，P?X?4??C3????，
?2?8?2?833?1?3?1?1P?X?5??C????，P?X?6?????.
?2?8?2?82333所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X P 3 1 84 3 85 3 86 1 8所以，随机变量X的数学期望为EX?3?13319?4??5??6??； 888821Pn ，也可以由第?n?1?2（2）根据题意，棋子要到第?n?1?站，由两种情况，由第n站跳1站得到，其概率为站跳2站得到，其概率为
111Pn?1，所以，Pn?1?Pn?Pn?1. 222111等式两边同时减去Pn得Pn?1?Pn??Pn?Pn?1???Pn?Pn?1??1?n?98?；
2221113?P?P?P?. （3）由（2）可得P0?1，P，1210222411?PP?P??由（2）可知，数列?P是首项为，公比为的等比数列， ?n?1n21421?1??Pn?1?Pn?????4?2?n?1?1??????2?n?1，
23991?1??1??1??P99?P?P?P?P?P?L?P?P??????L???????121329998???????2?2??2??2?981??1???1?????14?1???2???2?????1?100?， 23?2??1?1?????2?992?1?1?1?P?1?又P，则98?99?， 99?P98=?????9932??2?2? 25
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