Earlybird
课时作业25 解三角形应用举例
1．(2019·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( D )
A．北偏东10° C．南偏东80°
B．北偏西10° D．南偏西80°
解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
2．(2019·许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( B )
A．a km C．2a km
B．3a km D．2a km
解析：由题图可知，∠ACB＝120°，
Earlybird
由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－
?1?
?－?＝3a2，解得AB＝3a(km)． 2·a·a·?2?
3．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( D )
A．56 C．52
B．153 D．156
解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. BC30
由正弦定理得sin30°＝sin135°，所以BC＝152. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156. 4．如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值为( A )
16A．65
19B．65 Earlybird
16C．57 17D．57
解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，
则DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298(m)， DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130(m)， EF＝?BE－FC?2＋BC2＝902＋1202＝150(m)．
DE2＋EF2－DF2
在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝＝2DE·EF1302＋1502－102×29816
＝65.
2×130×150
5．地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰α
角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为2，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( B )
A．50 m,100 m C．40 m,50 m Hαh
β.则tanα＝120，tan2＝120，
H
根据三角函数的倍角公式有120＝.①
?h?21－?120??
?
B．40 m,90 m D．30 m,40 m
解析：设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为
h2×120
因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，
Earlybird
π
所以在O点望矮塔塔顶的仰角为2－β，
?π?hHH60
由tanβ＝60，tan?2－β?＝60，得60＝h.②
?
?
联立①②解得H＝90，h＝40. 即两座塔的高度分别为40 m,90 m.
6．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－103)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD．在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为( B )
A．30 m C．303 m
B．60 m D．403 m
30－10330－103AB
解析：在Rt△ABM中，AM＝＝sin15°＝＝sin∠AMB6－2
4206(m).
过点A作AN⊥CD于点N，如图所示． 易知∠MAN＝∠AMB＝15°， 所以∠MAC＝30°＋15°＝45°. 又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，
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