2012数学高考真题（精析）-重庆理科

则a＋b＝________.

11．4 [解析] 因为(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，则根据复数相等得a＝1，b＝3，所以a＋b＝4.

12．B13[2012·重庆卷] n→∞lim

1

＝________.

n2＋5n－n

n2＋5n＋n

＝nlim →∞5n

5

1＋n＋15

2

12.5 [解析] lim n→∞

1＋125＝5.

1

＝lim

n2＋5n－nn→∞

＝nlim →∞

13．C8[2012·重庆卷] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且35

cosA＝5，cosB＝13，b＝3，则c＝________.

143541213.5 [解析] 因为cosA＝5，cosB＝13，所以sinA＝5，sinB＝13，因为sinC4531256＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5×13＋5×13＝65，由正cbc314弦定理知sinC＝sinB，即56＝12，解得c＝5.

6513

14．H8[2012·重庆卷] 过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A、B两25

点，若|AB|＝12，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.

5?1?14.6 [解析] 由抛物线方程可知p＝1，焦点F的坐标为?2，0?，设A(x1，y1)，

??2513

B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝12，所以x1＋x2＝12.设直线AB的方1?k2?1?22?2222

程为y＝k?x－2?，代入抛物线y＝2x，得k?x－x＋4?＝2x，即kx－(k＋2)x＋4

????k2＋213k222222

＝0，x1＋x2＝k2＝12，所以k＝24，将k＝24代入kx－(k＋2)x＋4＝0，因1p5

为|AF|＜|BF|，所以解方程得x1＝3，所以|AF|＝x1＋2＝6.

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15．K2[2012·重庆卷] 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．

3

15.5 [解析] 6节课共有A66＝720种排法，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法分两类：

(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔：可将三节文化课捆绑为一个元素，

34然后再与另三节艺术课进行全排列，排法有A3A4＝144种；

(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文

33艺文” 两种形式，其排法有2A3A3＝72种；

(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课之一无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排

3113法有：A3C3C2A3＝216种．

综上可知，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法有144＋72＋216＝432种，

4323

所以课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为720＝5.

13

16．B11、B12、E3[2012·重庆卷] 设f(x)＝a ln x＋2x＋2x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．

(1)求a的值； (2)求函数f(x)的极值．

13

16．解：(1)因f(x)＝a ln x＋2x＋2x＋1， a13

故f′(x)＝x－2x2＋2.

由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即13

f′(1)＝0，从而a－2＋2＝0，解得a＝－1.

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13

(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋2x＋2x＋1(x＞0)， 113

f′(x)＝－x－2x2＋2 3x2－2x－1＝ 2x2?3x＋1??x－1?＝. 2x211

令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－3(因x2＝－3不在定义域内，舍去)． 当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数． 故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．

17．K4、K5、K6[2012·重庆卷] 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设11

甲每次投篮投中的概率为3，乙每次投篮投中的概率为2，且各次投篮互不影响．

(1)求甲获胜的概率；

(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望． 17．解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则 11

P(Ak)＝3，P(Bk)＝2(k＝1,2,3)，

(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知

P(C)＝P(A1)＋P(A1 B1A2)＋P(A1 B1 A2 B2A3) ＝P(A1)＋P(A1)P(B1)P(A2)＋P(A1)P(B1)P(A2)·P(B2)P(A3) 1211?2??1?1＝3＋3×2×3＋?3?2×?2?2×3 ????11113＝3＋9＋27＝27. (2)ξ的所有可能值为1,2,3， 由独立性知

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1212

P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝3＋3×2＝3. 211?2??1?2

P(ξ＝2)＝P(A1 B1A2)＋P(A1 B1 A2B2)＝3×2×3＋?3?2?2?2＝9，

?????2??1?1

P(ξ＝3)＝P(A1 B1 A2 B2)＝?3?2?2?2＝9.

????综上知，ξ有分布列为： ξ P 1 2 322113从而，Eξ＝1×3＋2×9＋3×9＝9

π??ωx－18．C5、C2、C3[2012·重庆卷] 设f(x)＝4cos?sinωx－cos(2ωx＋π)，6???其中ω＞0.

(1)求函数y＝f(x)的值域；

?3ππ?

(2)若f(x)在区间?－2，2?上为增函数，求ω的最大值．

???3?1

18．解：(1)f(x)＝4?cosωx＋sinωx?sinωx＋cos2ωx

2?2?＝23sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx ＝3sin2ωx＋1.

因－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为[1－3，1＋3]．

ππ??

(2)因y＝sinx在每个闭区间?2kπ－2，2kπ＋2?(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝3

???kππkππ?sin2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间?ω－4ω，ω＋4ω?(k∈Z)上为增函数．

??

?3ππ??kππkππ?依题意知?－2，2???ω－4ω，ω＋4ω?对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，

????于是

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