2014年四川省绵阳市南山中学自主招生数学模拟试卷

三.解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 19．（16分）（2014?涪城区校级自主招生）解答下列各题： （1）解不等式组

，并把其解集在数轴上表示出来．

（2）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，记成，定义，上述记号就

叫做2阶行列式．若，求x的值．

20．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）绵阳市“创建文明城市”活动如火如荼的展开．南山中学为了搞好“创建”活动的宣传，校学生会就本校学生对绵阳“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如下图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（Ⅰ）求该校共有多少名学生； （Ⅱ）将条形统计图补充完整；

（Ⅲ）在扇形统计图中，计算出“60﹣69分”部分所对应的圆心角的度数； （Ⅳ）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”的概率是多少？

21．（12分）（2012?广安）如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=； （1）求双曲线和直线的解析式； （2）求△AOB的面积．

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22．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．

（1）求证：AC与⊙O相切；

（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．

23．（12分）（2013?郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；

（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

24．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．

例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”． （1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数

（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点

D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；

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（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．

2

25．（14分）（2012?黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

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2014年四川省绵阳市南山中学自主招生数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2006?镇江）下列计算正确的是（ ）

22324

A．3x﹣2x=1 B．x?x=x C．2x+2x=2x D．（﹣a）=﹣a 【解答】解：A、错误，应为3x﹣2x=x；

2

B、x?x=x，正确；

C、错误，应为2x+2x=4x；

D、错误，应为（﹣a）=a=a． 故选B．

【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方的性质，合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的次数不变．

2．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，抛物线y=ax+bx+c，OA=OC，下列关系中正确的是（ ）

2

3

2

3×2

6

A．ac+1=b

B．ab+1=c

C．bc+1=a

D．+1=c

【解答】解：由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），又因OC=OA，

22

所以A（﹣c，0），把它代入y=ax+bx+c，即ac﹣bc+c=0，两边同时除以c，即得到ac﹣b+1=0，所以ac+1=b，故本题选A．

【点评】根据抛物线与x轴，y轴的交点判断交点坐标，然后代入函数式，推理a，b，c之间的关系． 3．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是（ ）

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