二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13．（5分）在锐角△ABC中，【解答】解：∵∴， ， ，则角B= ． ∴由正弦定理∵B为锐角， ∴B=． ． ，可得sinB=， 故答案为：14．（5分）函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是 [﹣，3] ． 【解答】解：∵f（x）=2cosx+cos2x=2cosx+2cos2x﹣1=2又﹣1≤cosx≤1， ∴当cosx=1时，f（x）max=2×﹣=3， 当cosx=﹣时，f（x）min=﹣； 故函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是[﹣，3]． 故答案为：[﹣，3]．
15．（5分）已知角α，β，γ，构成公差为﹣ ．
【解答】解：∵角α，β，γ，构成公差为
的等差数列∴α=β﹣
，γ=β+
﹣， 的等差数列．若cosβ=﹣，则cosα+cosγ=
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故cosα+cosγ=cos（β﹣故答案为：﹣
）+cos（β+）=2cosβcos=cosβ=﹣
16．（5分）在数列{an}中，a1=1，an=前n项和Tn= ．
an﹣1（n≥2，n∈N*），则数列{
}的
【解答】解：在数列{an}中，a1=1，an=可得令bn=由bn=b1?可得an=即有
==
?
，
?bn﹣1， ?
=1??…?
an﹣1（n≥2，n∈N*），
，可得bn=?，
…
=， =2（﹣）， ）=2（1﹣
）=
．
则前n项和Tn=2（1﹣+﹣+…+﹣故答案为：．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等比数列，求角B的最大值； （Ⅱ）若a2，b2，c2成等差数列，求角B的最大值． 【解答】解（Ⅰ）由已知得b2=ac， 由余弦定理
当a=c时，cosB取得最小值，即角B取得最大值（Ⅱ）由已知得由余弦定理
，
，
；
，
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当a=c时，cosB取得最小值，即角B取得最大值．
18．（12分）已知数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，
总是成等差数列．
（1）证明数列{an}为等比数列； （2）求满足不等式【解答】解：（1）∵
4an﹣1=6Sn﹣1﹣4﹣3Sn﹣2，（n≥3），
相减得：4an﹣4an﹣1=6an﹣3an﹣1，（n≥3），即又∵
综上，数列{an}是以（2）
当n为奇数时，当n为偶数时，综上得正整数n的最小值为3． 19．（12分）已知（1）求cosβ的值； （2）求α﹣β的值． 【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由tanα=，且0＜α＜π得：0＜α＜且sinα=
，cosα=
．…（2分）
．…（3分）
，…（1分）
，其中α，β∈（0，π）． ，
，此时无解
，得a2=﹣1，即，
，（n≥3），
的正整数n的最小值．
，整理得：4an=6Sn﹣4﹣3Sn﹣1，（n≥2），
为公比的等比数列
，
又0＜β＜π，所以0＜α+β＜又由sin（α+β）=π＜α+β＜
＜0得：
，且cos（α+β）=．…（4分）
故cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
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=??=．…（6分）
＜β＜π，且sinβ=
．（8分）
（2）由cosβ=＜0且0＜β＜π得，
所以cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ =
?（
）+，
?
=
．…（10分）
又由0＜α＜所以α﹣β=
＜β＜π，得﹣π＜α﹣β＜0．…（11分）
．…（12分）
asin
20．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（B+
）=c
（I）求角A的大小．，
（II）若△ABC为锐角三角形，求sinBsinC的取值范围． 【解答】解：（I）
asin（B+
）=a（sinB+cosB）=c，
由正弦定理得：sinA（sinB+cosB）=sinC=sin（A+B）， ∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAsinB=cosAsinB， ∴sinA=cosA，即tanA=1， ∵A为三角形的内角， ∴A=
；
﹣B）=
sinBcosB+
sin2B=
（sin2B﹣cos2B）+
（II）sinBsinC=sinBsin（=sin（2B﹣∵0＜B＜∴
＜B＜
）+， ，0＜，即
﹣B＜＜2B﹣
， ＜，
， ]．
则sinBsinC的取值范围为（
21．（12分）△ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，D为线段BC上一点，满足b
+c
=bC
，a2﹣b2=bc，△ACD与△ABD面积之比为1：2．
（1）求角A的大小； （2）求△ABC的面积．
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