2017届高考数学大一轮总复习 大题规范练1 函数与导数 理 北师大版

令N(x)＝ln(1＋x)－kx－x，x∈[0，＋∞)， 1－2x－

则有N′(x)＝－k－2x＝

x＋1

2

2

k＋2x＋1－k，

x＋1

－k?

?－k＋当x∈?0，

?

N′(x)>0，

＋k＋

4

2

＋

?时， ?

?－k＋N(x)在?0，

?

f(x)－g(x)>x2。

－k＋

记x0与

有|f(x)－g(x)|>x。

2

＋k＋

4

2

＋

－k?

?上单调递增，故N(x)>N(0)＝0，即?

＋k＋

4

2

＋－k中的较小者为x1，则当x∈(0，x1)时，恒

故满足题意的t不存在。

当k＝1时，由(1)知，当x>0时，|f(x)－g(x)|＝g(x)－f(x)＝x－ln(1＋x)。 令H(x)＝x－ln(1＋x)－x，x∈[0，＋∞)， 1－2x－x则有H′(x)＝1－－2x＝。

1＋xx＋1当x>0时，H′(x)<0，

所以H(x)在[0，＋∞)上单调递减，故H(x)0时，恒有|f(x)－g(x)|

解法二：当k>1时，由(1)知，对于?x∈(0，＋∞)，g(x)>x>f(x)， 故|f(x)－g(x)|＝g(x)－f(x)＝kx－ln(1＋x)>kx－x＝(k－1)x。 令(k－1)x>x，解得0

从而得到，当k>1时，对于x∈(0，k－1)， 恒有|f(x)－g(x)|>x， 故满足题意的t不存在。 当k<1时，取k1＝

2

2

22

2

k＋1

2

，从而k

由(2)知，存在x0>0，使得x∈(0，x0)，f(x)>k1x>kx＝g(x)， 1－k此时|f(x)－g(x)|＝f(x)－g(x)>(k1－k)x＝x。

2令

1－k21－k2

x>x，解得0x。 22

1－k2

记x0与的较小者为x1，当x∈(0，x1)时，恒有|f(x)－g(x)|>x。

2故满足题意的t不存在。

当k＝1时，由(1)知，x>0，|f(x)－g(x)|＝f(x)－g(x)＝x－ln(1＋x)。 令M(x)＝x－ln(1＋x)－x，x∈[0，＋∞)， 1－2x－x则有M′(x)＝1－－2x＝。

1＋xx＋1

当x>0时，M′(x)<0，所以M(x)在[0，＋∞)上单调递减，故M(x)

2

故当x>0时，恒有|f(x)－g(x)|