三角形中线与角平分线专题（二）

三角形中线与角平分线专题（二）

1、三角形内外角平分线的四个经典结论：

结论一：三角形任意两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系 已知如图1，BP平分?ABC，CP平分?ACB，求?P与?A的数量关系.

结论二：三角形任意两个内角相邻的外角的平分线说夹角与第三个内角的关系．

已知如图2，BP平分外角?CBE，CP平分外角?BCF，求?P与?A的数量关系.

A1?P?900??A2

B12C1?P?900??A2

结论三：三角形中任意一个内角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个内角的关系

BP平分?ABC，CP平分外角?ACD，求?P与?A的数如图，. 量关系

E

PF?P?

1?A 2AP结论四：结论三延伸

BE、CE如图，分别EA为?HAC的平分

B12C

D平分线 ?ABC和?ACD，连结EA，则

应用举例：

例1：在四边形ABCD中，?D?120?，?A?100? 、?ABC、?ACB的角平分线的交与点E，试求?BEC的度数.

例2：在?ABC中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 ?DEF，试判断?DEF的形状.

例3：如图3，在?ABC中，延长BC到D,?ABC与?ACD的角平分线相较于A1点，以此类推，若?A?96?，则?A5? ，?An?. ?A1BC与?A1CD的平分线交与A2点，

图三 图四

例4：点M是?ABC两个内角的平分线的交点，点N是?ABC两个外角的平分线的交点，

如果∠CMB∶∠CNB=3∶2，那么?CAB?

例5：（ 2011年湖北省鄂州是中考题）△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．

2、角平分线性质的应用

3、角平分线与等腰三角形的构造问题： 【模型一】角平分线+平行线?等腰三角形

如图（1）中，AD平分?BAC，AD//EC； 如图（2）中，AD平分?BAC，DE//AC； 如图（3）中，AD平分?BAC，CE//AB； 如图（4）中，AD平分?BAC，EF//AD。

例1： 如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF?BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP

例2： 如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。

训练题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：EF//AB

【模型二】角平分线+垂线?等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图，若AD平分∠BAC，AD?DC，则?AEC是等腰三角形。

例3.：如图，在等腰Rt?ABC中，AB＝AC，∠BAC=90?，BF平分∠ABC，CD?BD，交BF的延长线于D。求证：BF＝2CD

【模型三】作倍角平分线?等腰三角形

当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。如图，若∠ABC=2∠C，作BD平分∠ABC，则?DBC是等腰三角形。

例4.：如图，在?ABC中，∠ACB=2∠B，BC＝2AC。求证：∠A=90?

3、角平分线定理及逆定理的应用： 例1：简单的定理应用

（1）如图，AD是Rt?ABC的角平分线，?C?90?，DE?AB于点E，点F是AC上