∴当分子比分母小1时，分子（或分母）越大的数越大．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质以及有理数的大小的比较．
38．（2007?嘉兴）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等． （1）设A=
﹣
，B=
，求A与B的积；
（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题．
【分析】（1）列出A?B的分式，然后进行化简，（2）读懂题意，其实还是考查分式的混合运算． 【解答】解：（1）
=；（6分）
（2）“逆向”问题： 已知A?B=2x+8，
，求A．（3分）
；（3分）
解答：A=（A?B）÷B=（2x+8）×
【点评】本题属于创新问题，一定要读懂题意，结合分式的混合运算解决．
39．（2016?重庆校级模拟）能被3整除的整数具有一些特殊的性质： （1）定义一种能够被3整除的三位数字都立方，再相加，得到一个新数．例如
的“F”运算：把
的每一个数位上的数
=213时，则：21336（23+13+33=36）
243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得 351 ，经过四次“F”运算得 153 ，经过五次“F”运算得 153 ，经过2016次“F”运算得 153 ．
（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这
个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．
【分析】（1）根据“F运算”的定义得到111经过三次“F运算”的结果，经过四次“F运算”的结果，经过五次“F运算”的结果，经过2016次“F运算”的结果即可； （2）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除．
【解答】（1）解：1113（13+13+13=3）27（33=27）351（23+73=351）153（33+53+13=153）153（13+53+33=153）153（33+53+13=153）．
故数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得 153，经过2016次“F”运算得 153． （2）证明：设a+b+c+d=3e（e为整数）， 这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，
∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e， ∴
=333a+33b+3c+e，
∵333a+33b+3c+e是整数，
∴1000a+100b+10c+d可以被3整除． 故答案为：351，153，153，153．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．
40．（2015秋?资中县期中）观察并验证下列等式： 13+23=（1+2）2=9， 13+23+33=（1+2+3）2=36， 13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100，
（1）续写等式：13+23+33+43+53= 225 ；（写出最后结果）
（2）我们已经知道1+2+3+…+n=n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜
想结论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3= （3）利用（2）中得到的结论计算： ①33+63+93+…+573+603 ②13+33+53+…+（2n﹣1）3
n2（n+1）2 ；（结果用因式乘积表示）
（4）试对（2）中得到的结论进行证明． 【分析】根据题意给出的规律即可求解．
【解答】解：（1）（1+2+3+4+5）2=225 （2）原式=[n（n+1）]2=n2（n+1）2
（3）①原式=（3×1）3+（3×2）3+（3×3）3+…+（3×20）3 =27×13+27×23+27×33+…+27×203 =27（13+23+33+…+203） =27××202×212 =27×44100 =1190700
②原式=[13+23+33+…+（2n）3]﹣[23+43+63+…+（2n）3] =（2n）2（2n+1）2﹣8（13+23+33…+n3） =×4n2（2n+1）2﹣8××n2×（n+1）2 =n2（2n+1）2﹣2n2（n+1）2 =n2（2n2﹣1） =2n4﹣n2
（4）∵（n+1）3=n3+3n2+3n+1 ∴（n+1）3﹣n3=3n2+3n+1
∴n3﹣（n﹣1）3=3（n﹣1）2+3（n﹣1）+1 …
∴33﹣23=3×22+3×2+1， ∴23﹣13=3×12+3×1+1 上述n个等式相加，得
（n+1）3﹣13=3（12+22+…+n2）+3（1+2+…+n）+n
∴3（12+22+…+n2）=（n+1）3﹣1﹣3（1+2+…+n）﹣n =（n+1）3﹣3×
﹣（n+1）
=（n+1）[（n+1）2﹣n﹣1] =（n+1）（n2+n）
∴12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1） ∵（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1， ∴（n+1）4﹣n4=4n3+6n2+4n+1，
∴n4﹣（n﹣1）4=4（n﹣1）3+6（n﹣1）2+4（n﹣1）+1， …
34﹣24=4×23+6×22+4×2+1 24﹣14=4×13+6×12+4×1+1 上述n个等式相加，得
（n+1）4﹣n4=4（13+23+…+n3）+6（12+22+…+n2）+4（1+2+…+n）+n， ∴4（13+23+…+n3）=（n+1）4﹣1﹣6（12+22+…+n2）﹣4（1+2+…+n）﹣n =（n+1）4﹣6×n（n+1）（2n+1）﹣4×=（n+1）[（n+1）3﹣n（2n+1）﹣2n﹣1] =（n+1）（n3+n2）
∴13+23+…+n3=n2（n+1）2
故答案为（1）225；（2）n2（n+1）2
【点评】本题考查因式分解以及数字规律，涉及整式混合运算，有理数运算等知识，综合程度较高．
﹣（n+1）
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